Unidad 4 Calidad

ADMINISTRACIÓN DE LA CALIDAD

4.1 Muestreos de confianza

Estimación por intervalos

En la estimación por intervalos atribuimos al parámetro desconocido un segmento de posibles valores entre los que se encuentra, con elevada probabilidad, el valor verdadero del parámetro. Es decir, para estimar el valor del parámetro, podemos ofrecer un intervalo de puntuaciones dentro del cual se encuentra, con una probabilidad conocida, el valor buscado. Por ejemplo, podríamos determinar que con una probabilidad de 0.90, el valor de  se encuentra dentro del intervalo [a, b].

Cuando realizamos una estimación por intervalos resulta imprescindible apoyarse en la distribución muestral de los estadísticos utilizados como estimadores. Por ejemplo el estadístico , estimador de. Sabemos que si extraemos muestras de una población en la que la media es  y la varianza , la distribución muestral de tiene como media  y como varianza . Si el tamaño n de las muestras es suficientemente grande, la distribución muestral del estadístico tiende al modelo normal .

Error muestral

Siempre que tomamos una muestra en representación de toda la población se comete un error. Normalmente existe una diferencia entre los valores obtenidos a partir de la muestra y los correspondientes a la población. Pero cuando hablamos del error muestral no nos referimos al error real que hemos obtenido nosotros, sino a un error determinado estadísticamente, válido para todas las posibles muestras del mismo tamaño.

Sea la media de una muestra de tamaño n y sea  la media poblacional de la población de tamaño N. Obteniendo todas las muestras de tamaño n y calculando la media de cada una, se obtiene una distribución normal, llamada distribución muestral de las medias o distribución de las medias muestrales .

La curva de Gauss representa la distribución de todas las medias de tamaño n obtenidas en la población. La media de las medias coincide con la media de la población, obteniéndose muchas muestras cuyas medias, , son iguales o muy cercanas a  y muy pocos casos de medias muestrales, alejadas o muy alejadas de la media proporcional .

Definición.

ERROR MUESTRAL.

Se define el error muestral o error de muestreo como la desviación típica de la distribución muestral de las medias o de las proporciones.

Recordamos que, para la distribución de las medias muestrales y para la distribución de las proporciones muestrales, respectivamente:

Cuando la población es finita y la extracción es con reemplazamiento, o cuando la población es infinita:

Cuando la población es finita y la extracción es sin reemplazamiento:

ERROR MÁXIMO ADMISIBLE.

La distribución muestral de las medias sigue una ley normal y su representación gráfica es la curva de Gauss. Estadísticamente nunca se puede abarcar toda el área comprendida entre la curva de Gauss y el eje OX, por ser éste una asíntota de la curva, siendo preciso fijar el área se pretende abarcar. Esta área, (1-), recibe el nombre de nivel de confianza porque representa el área que contendrá, probablemente, el valor de la media poblacional . Se expresa en tanto por ciento.

Definición.

NIVEL DE CONFIANZA.

Se denomina nivel de confianza o coeficiente de confianza a la probabilidad de que el estimador por intervalo cubra el verdadero valor del parámetro que se pretende estimar. Se expresa por 1 - .

Estrictamente, establece el porcentaje de muestras (de un tamaño dado) en las que el estadístico que deseamos estimar tiene un valor dentro del intervalo estimado. Un nivel de confianza de 90% o del 95% indica que, de toda el área encerrada por la curva de Gauss y el eje OX, probablemente el 90% o el 95% de las veces contendrá a la media poblacional , desestimando el 10% o el 5%, restante.

Definición.

NIVEL DE SIGNIFICACIÓN.

Se denomina nivel de significación o nivel de riesgo a la diferencia entre la certeza y el nivel de confianza deseado. Por tanto, se expresa por .

Definición.

ERROR MÁXIMO ADMISIBLE.

Se define el error máximo admisible como el valor “d” que verifica que la probabilidad de que la media muestral y la media poblacional  difieran en menos de la cantidad “d ” con el nivel de confianza elegido (1 - ):

De lo anterior se deduce:

O lo que es lo mismo:

Si:

Es decir:

para un nivel de confianza del 68.26 %.

para un nivel de confianza del 95.44 %.

para un nivel de confianza del 99.73 %.

En general:

Para una variable tipificada, el valor de k se obtiene así:



De donde:

cuyo valor lo podemos obtener en la tabla N(0 , 1) para una valor dado .

Valores de k, más usuales, según el nivel de confianza 1 - 

1 -  50 % 68’2 % 90 % 95 % 95’5 % 99 % 99’7 %

K 0.67 1 1.65 1.96 2 2.58 3

En el caso de las proporciones:

El error máximo admisible “d” y el error muestral o están relacionados por el valor k obtenido a partir del nivel de confianza (1 - ). Así:

Error máximo admisible para la estimación de la media poblacional:

(población infinita o finita con reemplazamiento).

(población finita sin reemplazamiento).

Error máximo admisible para la estimación de la proporción poblacional:

(población infinita o finita con reemplazamiento).

(población finita sin reemplazamiento).

Intervalo de confianza de la media.

En una población cuya distribución es conocida, pero con algún parámetro desconocido, podemos estimar dicho parámetro a partir de una muestra representativa. Estamos trabajando en el caso de la estimación de parámetros mediante un intervalo de confianza. En este apartado determinaremos el intervalo de confianza para la media.

El intervalo de confianza [a , b] debe contener a la media poblacional con un nivel de confianza 1-

El valor 1- que indica con qué probabilidad el intervalo [a , b] contiene el valor real del parámetro estimado , se elige previamente, siendo un número real comprendido entre 0 y 1. El valor 1- se expresa en porcentaje.

Sea X una variable aleatoria

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