4º MEDIO: MEDIDAS DE POSICIÓN

4º MEDIO: MEDIDAS DE POSICIÓN

También llamadas de centralización o de tendencia central. Sirven para estudiar las características de los valores centrales de la distribución atendiendo a distintos criterios. Veamos su significado con un ejemplo:

Supongamos que queremos describir de una forma breve y precisa los resultados obtenidos por un conjunto de alumnos en un cierto examen; diríamos:

a) La nota media de la clase es de 6,5.

b) La mitad de los alumnos han obtenido una nota inferior a 5.

c) La nota que más veces se repite es el 4,5.

En la expresión a) se utiliza como medida la media aritmética o simplemente la media.

En la b) se emplea como medida la mediana, que es el valor promedio que deja por debajo de ella la mitad de las notas y por encima de ella la otra mitad. Y en la c) se usa el valor de la nota que más veces se ha repetido en ese examen, este valor es la moda.

MEDIA ARITMÉTICA

Normalmente se suele distinguir entre media aritmética simple y media aritmética ponderada.

Media aritmética simple: Es la suma de todos los elementos de la serie dividida por el número de ellos. Se calcula como:

siendo:

: la media

: suma de elementos

n : número de elementos (incluyendo a los de igual valor)

k : número de elementos con distinto valor.

Ejemplos:

1. Hallar la media aritmética de los siguientes valores: 5, 7, 8, 10, 15.

= 5 + 7 + 8 + 10 + 15 = 45

n = 5

= 9

2. Si las notas de un alumno en las distintas asignaturas de un curso durante una evaluación fueron: 7; 5; 6,5; 3,7; 5, 6,2. Hallar la nota media de la evaluación. (Resp. 5,5666...)

3. La media de 6 elementos se sabe que es 10. Sabiendo que cinco de ellos son: 8, 12, 13, 5 y 9, hallar el elemento que falta. (Resp. 13)

Media aritmética ponderada: Por lo general, en Estadística, los datos se nos presentan agrupados mediante una distribución de frecuencias que hace que no todos los elementos de la serie tengan el mismo peso específico, y eso influye a la hora de calcular la media, por eso se llama media ponderada.

Se define como la suma de los productos de cada elemento de la serie por su frecuencia respectiva, dividida por el número de elementos de la serie.

donde ni es la frecuencia o número de veces que se repite un valor. También ni puede ser la ponderación de cada valor xi.

Ejemplos:

1. Durante el mes de octubre de 1981 los salarios recibidos por un obrero fueron:

Salario en pesos Frecuencia en días

200.000 5

220.000 15

300.000 4

Hallar el salario medio durante ese mes.

2. Un alumno obtiene en tres exámenes parciales las siguientes notas: 7, 5 y 3; en el examen final consigue un 6. Suponiendo que esta nota final tenga doble valor que las parciales, ¿cuál será su nota media? (Resp. 5,4)

3. Si la renta anual media de los trabajadores del campo es de 1.000.000 de pesos y la renta anual media de los trabajadores de la construcción en esa población es de 1.200.000 pesos, ¿sería la renta anual media para ambos grupos de 1.100.100 pesos? Explica.

Sin embargo, lo normal es Estadística es que los datos vengan agrupados en clases o intervalos, o que nosotros mismos hagamos esa agrupación cuando el número de elementos sea muy extenso, ya que en ese caso el cálculo de la media por los procedimientos vistos para datos sin agrupar sería muy laborioso.

Antes de estudiar los métodos más usuales para el cálculo de la media con datos agrupados, vamos a ver algunas propiedades de la media aritmética que nos ayudarán a comprender mejor el contenido de esos métodos.

Propiedades de la media aritmética: Las propiedades más importantes son

1. La suma algebraica de las desviaciones de un conjunto de números respecto de su media aritmética es cero.

2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de un conjunto de números con respecto a cualquier otro número es mínima cuando ese otro número es precisamente la media aritmética.

3. Si suponemos, antes de calcularla, que la media de un conjunto de números es cualquier número A, resulta que la verdadera media aritmética es:

donde

A: media supuesta

: suma de las desviaciones respecto de A.

n : número de elementos.

4. Si A1 números tienen una media m1, A2 números una media m2, ...., An números una media mn, entonces la media de todos ellos es:

o sea, es la media aritmética ponderada de todas las medias.

Ejemplo: En una cierta empresa de 80 empleados, 60 de ellos ganan 500.000 pesos al mes y los 20 restantes ganan 700.000 pesos al mes, cada uno de ellos. Se pide:

a) Determinar el sueldo medio

b) ¿Sería igual la respuesta si los primeros 60 empleados ganaran un sueldo medio de 500.000 pesos y los otros 20 un sueldo medio de 700.000 pesos?

c) Comentar si ese sueldo medio es o no representativo.

Cálculo de la media aritmética a partir de datos agrupados en clases.

Hay dos métodos principalmente para calcular la media de una distribución con datos agrupados: método directo (o largo) y método abreviado (o corto).

Método directo

Consiste en aplicar la fórmula ya vista para el cálculo de la media ponderada, con la única salvedad de que se toman como valores representativos de la variable los puntos medios de cada intervalo, que se denotan con xm.

O sea:

Ejemplo: Hallemos la media aritmética por el método directo de la siguiente serie:

25 33 27 20 14 21 33 29 25 17

31 18 16 29 33 22 23 17 21 26

13 20 27 37 26 19 25 24 25 20

25 29 33 17 22 25 31 27 21 14

24 27 23 15 21 24 18 25 23 24

(Resp: 23,76)

Método abreviado

Consiste en elegir un intervalo en el que se supone que estará la media (aunque no sea así), y llamamos A al valor de la media supuesta, que coincidirá con el centro del intervalo elegido.

Entonces aplicamos la fórmula

Siendo d las desviaciones de las marcas de clase con respecto a la media supuesta A, y ni la frecuencia de cada intervalo.

Ejemplo: Realizar el mismo anterior para poder comparar

...