4.4 BASE Y DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL

Dimensión de un espacio vectorial

Un espacio vectorial sobre un cuerpo que se dice que tiene dimensión si existe una base de cardinal n. En un espacio vectorial, todas las bases tienen el mismo cardinal, lo que hace de la dimensión el primer invariante del álgebra lineal. El espacio vectorial trivial {0} tiene como dimensión 0 porque el conjunto vacío es su base: una combinación de cero vector da el vector nulo.

Intuitivamente hablando, la dimensión de un espacio vectorial nos dice cuántos elementos necesitamos para poder expresar cualquier elemento del espacio en términos de las combinaciones lineales de los primeros, i.e., cuántos elementos del espacio necesitamos para poder expresar todos los elementos del espacio como sumas de múltiplos de éstos elementos. Los espacios vectoriales de dimensión finita son muy comunes en muchas áreas de la ciencia, pero en matemáticas y física cuántica también aparecen casos importante de espacios vectoriales de dimensión infinita.

Se dice que un conjunto de vectores D = {¯u1, ¯u2, ..., ¯un} forman una base del espacio vectorial V si los vectores de {D} pueden generar todo el espacio vectorial V y si dichos vectores son linealmente independientes. La dimensión del espacio vectorial V es igual al número de vectores que constituyen su base.

De la misma manera, se dice que un conjunto de vectores E = {v1, v2,..., vn} forman una base del subespacio vectorial S si los vectores de {E} pueden generar todo el subespacio vectorial S y si dichos vectores son linealmente independientes. La dimensión del subespacio vectorial S es igual al número de vectores que constituyen su base, y se denomina cardinal de V (cardV ), al número de vectores de la base.

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