5.3 Funciones Crecientes Y Decrecientes. Máximos Y Mínimos De Una Función. Criterios De La Primera Derivada Para máximos Y mínimos. Concavidad Y Puntos De Inflexión .Criterio De La Segunda Derivada

5.3 Funciones Crecientes y Decrecientes. Máximos y Mínimos de una función. Criterios de la primera derivada para máximos y mínimos. Concavidad y puntos de inflexión .Criterio de la segunda derivada

Definición

Si al aumentar el valor de x el valor de su imagen ¦(x) también se incrementa, se dice que la gráfica de la función crece y, por el contrario, cuando el valor x aumenta disminuye ¦(x), decimos que la función decrece.

Simbólicamente podríamos definir:

¦ es creciente en un intervalo [a, b] Û "x1 "x2 Î[a, b]: x1 < x 2 ¦(x1) < ¦(x2)

¦ es decreciente en un intervalo [a, b] Û "x1 "x2 Î[a, b]: x1< x 2 ¦(x1) > ¦(x2)

Criterio para Crecimiento y Decrecimiento

Sea f una función de variable real continua en [a, b] y derivable en (a, b).

i. Si para todo entonces f es creciente en [a, b].

ii. Si para todo entonces f es decreciente en [a, b].

Observación:

El crecimiento y el decrecimiento de una curva coincide con el signo de la primera derivada. Asi:

Donde (derivada positiva), f(x) es creciente.

(derivada negativa), f(x) es decreciente.

El siguiente teorema, permite clasificar los extremos relativos (máximos y mínimos) de una función, de acuerdo a las variaciones de signo de la primera derivada.

Extremos Absolutos

Las palabras máximo y mínimo, pertenecen a un lenguaje habitual y los usamos generalmente cuando deseamos expresar, lo más grande o lo más pequeño de la cantidad comparada. Este es el mismo significado que toma en el cálculo. “Para cada función es posible establecer comparaciones entre las imágenes, en un intervalo dado, y de acuerdo a la medida conocer la mayor imagen y desde luego, al menor. Estos serán llamados extremos de la función, o de manera más específica, máximo absoluto y mínimo absoluto respectivamente”.

Precisaremos aun más:

Definición:

Es conveniente hacer algunas reflexiones sobre la definición anterior. Primeramente, es evidente en la Figura 51 que:

y

f (b)

Figura 51

f (a)

x

a b

Sin embargo, ¿Cuál es el máximo absoluto y el mínimo absoluto en la función constante que aparece en la Figura 52?

y

k

Figura 52

x

a b

Con esto deseamos enfatizar lo siguiente: el máximo o el mínimo son números que resultan de la comparación de los valores que toma la función en su dominio. No representa la imagen de algún argumento en particular, independientemente de que ésta los tome. Así, este número llamado máximo (o mínimo) absoluto, puede corresponder al valor de la función para uno o más argumentos del dominio.

Otro aspecto importante es el hecho de que los extremos absolutos pueden o no coincidir con los límites del intervalo que da el dominio, como se verá en el ejemplo 1:

Ejemplo 1.- Dada f (x) = x2 –2x, calcular los extremos absolutos en el intervalo [0, 3].

SOLUCIÓN:

y

0 3 x

Si x = 0 Si x = 2

f (x) = (0)2 –2 (0) = 0 f (x) = (2)2 –2 (2) = 4 – 4 = 0

Si x = 1 Si x = 3

F (x) = (1)2 –2 (1) = 1 – 2 = -1 f (x) = (3)2 –2 (3) = 9 – 6 = 3

 Máximo absoluto = 3 para x = 3

Mínimo absoluto = -1 para x = 1

Ejemplo 2.- Dada f (x) = 3x – 5, calcular los extremos absolutos en el intervalo [-2, 4].

SOLUCIÓN.

Si x = -2 Si x = 4

f (x) = 3 (-2) –5 = –6 –5 = -1 f (x) = 3 (4) –5 = 12 –5 = 7

 Máximo absoluto = 7 para x = 4

Mínimo absoluto = -1 para x = -2

Observación:

Una regla práctica que se usa para determinar los extremos absolutos de una función continua f en un intervalo cerrado [a, b] es la siguiente:

1. Se determinan los puntos críticos c1, c2, c3, ...,cn (resolviendo , o donde no existe).

2. Se calcula y .

3. Máximo absoluto de f = máx  

Mínimo absoluto de f = mín  

Extremos Relativos

Definición:

y

f ‘ (c) = 0

f '(d) = 0

a c d b x

Figura 53

Sin embargo existen otros casos en donde si se restringe el dominio, los números anteriores se comportan como extremos. Por ejemplo, la función de la Figura 53 tiene un máximo en x = c, dentro del intervalo [a, d], y un mínimo en x = d, dentro del intervalo [c, d]. Así, de acuerdo a la definición:

Máximo relativo = f (c)

Mínimo relativo = f (d)

Los extremos relativos podrán localizarse al resolver la ecuación f '(x) = 0, ya que entre sus raíces se encuentran las abscisas de estas; sin embargo, no todas las raíces corresponderán necesariamente a un extremo. Podría tratarse también de un punto como el que se ilustra en la Figura 54.

y

Figura 54

f '(c) = 0

x

a c b

“Llamaremos número crítico a cualquier argumento c del dominio de la función f, tal que f '(c) = 0. Así, los máximos y mínimos locales tendrán siempre como abscisa un número crítico. Por otra parte, si c es un número crítico para f, entonces el punto (c, f(c)) será llamado punto crítico de f”.

Ejemplo 1.- Cuales son los números críticos de la función f (x) = x3 + 3x2 –9x + 3 y cuales son sus puntos críticos.

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