Funciones crecientes y decrecientes

INSTITUTO TECNOLOGICO DE ACAPULCO

NOMBRE DEL MAESTRO: ANTONIO CANUL PEREZ

ASIGNATURA: CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

INTEGRANTES DEL EQUIPO:

ESPECIALIDAD: CONTADURÍA

AULA: 201 HORARIO: 9:00-10:00 HRS

UNIDAD 4:

INDICE

4.1 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES……………………………………………………………3

4.2 CONCAVIDAD DE FUNCIONES……………………………………………………………………………….6

4.3 MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES…………………………………………………………………..9

4.4 CRITERIOS DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA PARA OBTENER MAXIMOS Y MINIMOS…………………………………………………………………12

4.5 APLICACIONES ESPECÍFICAS DE LA ESPECIALIDAD……………………14

4.1 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

Por definición, una función continua es creciente si en un intervalo y si para todo par de números X1 y X2 en el intervalo, X1 < X2 implica que f(x1) < f(x2).

Análogamente, una función f(x) es decreciente en un intervalo si para todo par de números X1 y X2 en el intervalo, X1 > X2

De esta definición vemos que f(x) es creciente si su gráfica asciende al desplazar x hacia la derecha; será decreciente si su gráfica desciende al desplazar x hacia la derecha.

1.-f(x)=x3-6x2+9

x y

0 0

1 4

2 2

3 0

4 4

5 20

-1 -16

-2 -50

2.-f(x)=2x2-x4

x y

0 0

1 1

2 -8

3 -63

-1 1

-2 -8

-3 -63

3.-f(x)=2x3

x y

0 0

1 2

2 16

3 54

-1 -2

-2 -16

-3 -54

-4 -128

4.2 CONCAVIDAD DE FUNCIONES

La concavidad de una curva o de una superficie es la parte que se asemeja a la zona interior de una circunferencia o de una esfera. Es el concepto complementario al de convexidad

Para calcular los intervalos la concavidad y convexidad de una función seguiremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

2. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).

3. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.

Si f''(x) > 0 es cóncava.

Si f''(x) < 0 es convexa.

Ejercicios:

1.-

2.- f(x)=x3-3x2+6x-6

3.-f(x)=x2+1/x2-4

2.-

Ejemplo:

3.-f(x)=x2+1/x2-4

F´(x)= -10/(x2-4)

F¨(x)=10(3x2+4)/(x2-4)2

4.3 MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES

En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto). De manera más general, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.

1.- f(x)= 6x3-3x +5

2.-

3.- f(x)= 2x3-3x2-36x+14

f'(x) = 3x2 − 3 = 0

x = −1 x = 1.

f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.

f''(x) < 0 Tenemos un máximo.

f''(x) = 6x

f''(−1) = −6 Máximo

f'' (1) = 6 Mínimo

f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

Ejercicios

3.- f(x)= 2x3-3x2-36x+14

F(x)=6x2-6x-36=0

6(x2-x-6)=0

6(x-3)(x+2)=0

X=-2 x=3

4.4 CRITERIOS DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA PARA OBTENER MAXIMOS Y MINIMOS

Criterio de la primera derivada

Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico

Teorema valor máximo y mínimo

"Sea un punto crítico de una función que es continua en un intervalo abierto que contiene a . Si es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en , entonces puede clasificarse como sigue."

1. Si ' cambia de positiva a negativa en , entonces tiene un máximo relativo en .

2. Si ' cambia de negativa a positiva en , entonces tiene un mínimo relativo en .

3. Si ' es positiva en ambos lados de o negativa en ambos lados de c, entonces no es ni un mínimo ni un máximo relativo. El criterio no decide.

Criterio de la segunda derivada

El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.

Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función es convexa en un intervalo abierto que contiene a , y debe ser un mínimo relativo de . De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a y debe ser un máximo relativo de .

Teorema

...