MÁXIMOS Y MÍNIMOS FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

[pic 1]

Se dice que una función y=f(x) es creciente, para x=a, si en un entorno de a se verifica:

Para x>a, es f(x) > f(a)

Para x

Esto es: A un incremento positivo para “x”, corresponde un incremento positivo para “y”. A un incremento negativo para “x”, corresponde un incremento negativo para “y”.

[pic 2]

Se dice que una función y=f(x) es decreciente, para x=a, si en un entorno de a se verifica:

Para x>a, es f(x) < f(a)

Para x f(a)

Esto es: A un incremento positivo para “x”, corresponde un incremento negativo para “y”. A un incremento negativo para “x”, corresponde un incremento positivo para “y”.

Para determinar si una función es creciente o decreciente para x=a, se toma el signo del valor de la derivada en el punto, y si:

f’(x) > 0 entonces f(x) es creciente para x=a

f’(x) < 0 entonces f(x) es decreciente para x=a

[pic 3]

Ejemplo:

Determinar si la siguiente función es creciente o decreciente para los valores de abscisas dados.

f(x) = x3-2x+1

para x= -3, -1 y 2

MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS

[pic 4]

Si para un entorno de a, se verifica:

Para x < a es f(x) < f(a),

Para x > a es f(x) < f(a)

Se dice que la función y=f(x) tiene un máximo relativo para x=a

(Como se observa, la pendiente en el punto anterior al valor a es positiva, y después del valor a es negativa)

[pic 5]

Si para un entorno de a, se verifica:

Para x < a es f(x) > f(a),

Para x > a es f(x) > f(a)

Se dice que la función y=f(x) tiene un mínimo relativo para x=a

(Como se observa, la pendiente en el punto anterior al valor a es negativa, y después del valor a es positiva)

Criterio de la primera derivada para la obtención de máximos y mínimos relativos.

Si una función y=f(x) tiene un máximo relativo para x=a, la derivada para x=a es igual a cero, por lo que su pendiente pasa en su entorno de positiva a negativa.

Análogamente, sí una función y=f(x) tiene un mínimo relativo para x=a, la derivada para x=a es igual a cero, por lo que su pendiente pasa en su entorno de negativa a positiva.

Los pasos a seguir para determinar los máximos y mínimos relativos son:

1. Obtener la primera derivada (esto es porque la derivada en un punto dado, representa la pendiente de la recta tangente)
2. Igualar la ecuación con cero. (ya que en los máximos y mínimos la pendiente vale cero)
3. Resolver la ecuación para obtener los puntos críticos.
4. Analizar los puntos críticos.

1. Se da un incremento negativo a “x”, y se valúa en la función derivada
2. Se da un incremento positivo a “x”, y se valúa en la función derivada

Si el signo de la derivada pasa de positiva a negativa, se trata de un punto máximo.

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