ALGEBRA LINEAL

ESPACIO VECTORIAL

Cualquier conjunto que posea unas operaciones suma y producto por escalares, cumpliendo todas las propiedades anteriores, diremos que es un espacio vectorial. Los elementos de tal conjunto se llamarán vectores (aunque pueda tratarse de objetos diferentes a los vectores de la Física.)

Diremos que el espacio vectorial es real o complejo, según sean los escalares.

Otras propiedades de los espacios vectoriales pueden deducirse de las anteriores propiedades básicas. Por ejemplo:

Si α v = 0 (α escalar, v vector) entonces o bien es α=0 o bien es v = 0

Ejemplos de espacios vectoriales.

1) El espacio ℜ, formado por los vectores de n componentes (x1,. . ., xn) es un espacio vectorial real, en el que se pueden sumar vectores y multiplicar por un escalar (real) de la forma habitual.

Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas para ambas operaciones. El vector cero es (0,. . ., 0).

No es un espacio vectorial complejo, pues no podemos multiplicar por escalares complejos (si lo hacemos, el resultado no se mantendrá dentro de ℜ).

2) Consideremos el conjunto P2 de los polinomios de grado ≤ 2 con coeficientes reales:

P2 = { ax2 + bx + c : a, b, c ∈ ℜ }

Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos elementos de P2 y obtenemos otro elemento de P2; también podemos multiplicar un elemento de P2 por un escalar real y obtenemos otro elemento de P2.

Veámoslo:

• Suma: ( ax2 + bx + c ) + ( a’x2 + b’x + c’ ) = (a+a’) x2

• Producto por un escalar real: λ∈ℜ , λ(ax + bx + c) = λax2 + λbx + λc que pertenece a P2

Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas. El vector 0 es el polinomio cero: 0x2 + 0x + 0

No es un espacio vectorial complejo, pues al multiplicar por un escalar complejo el resultado podrá ser un polinomio complejo que no pertenece a P2.

3) Consideremos el conjunto G de los polinomios de grado = 3 (exactamente 3) con coeficientes reales.

No es un espacio vectorial (real ni complejo), pues al sumar dos elementos de G, no está garantizado que el resultado esté en G. En efecto, consideremos los polinomios

• p = x3+x2+x+1 , q = –x3+x2+x+1

Pertenecen a G, pues su grado es 3. Pero su suma es p+q = 2x2+2x+2 que no pertenece a G (su grado no es 3).

4) Consideremos el conjunto M2x2 (también denotado por M2) de las matrices 2x2 con términos reales.

Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos matrices de M2x2 obteniendo otra matriz de M2x2, y multiplicar una matriz de M2x2 por un escalar real obteniendo otra matriz de M2x2. Se puede comprobar que se cumplen las propiedades. El vector 0 es, en este caso, la matriz con todos sus términos nulos.

No es un espacio vectorial complejo.

5) Consideremos el conjunto MC de las matrices 2x3 con términos complejos.

Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos matrices de MC obteniendo otra matriz de MC, y multiplicar un elemento de MC por un escalar real obteniendo otra matriz de MC.

También es un espacio vectorial complejo, pues podemos multiplicar una matriz de MC por un escalar complejo obteniendo otra matriz de MC.

(Compruébese con elementos genéricos)

6) El conjunto C de los números complejos se puede considerar como un espacio vectorialreal. En efecto, se pueden sumar dos números complejos obteniéndose otro número complejo; y se puede multiplicar un complejo por un escalar real, obteniéndose otro complejo. Es decir,

• Suma: (a+bi ) + (c+di ) = (a+c) + (b+d)i, que es otro número complejo.

• Producto por un escalar real: λ∈ℜ, λ (a+bi) = λa + λbi que es otro número complejo.

La suma y el producto por un escalar cumplen todas las propiedades requeridas. En este caso el vector 0 es el número complejo cero, 0+0i.

Nótese que aquí los complejos funcionan como vectores (elementos del espacio vectorial C) y los reales como escalares.

Observar además que, en este contexto, el conjunto de los números complejos se comporta igual que el espacio vectorial ℜ2, identificando el número complejo a+bi con el vector (a,b).

Este es el motivo por el cual se suele representar el plano complejo como si fuera ℜ2, con la parte real en el eje de abscisas y la parte imaginaria en el eje de ordenadas.

7) El conjunto de las funciones continuas definidas en ℜ: Se pueden sumar dos funciones, y se puede multiplicar una función por un escalar real.

Por ejemplo, las funciones f(x)=x2y g(x)=log(x) pueden sumarse y resulta otra función h(x)=x2+log(x).

La función g(x)=log(x) puede multiplicarse por el escalar λ y resulta la función k(x)=λ log(x).

Si sumamos dos funciones continuas, el resultado es otra función continua. Si multiplicamos una función continua por un escalar, el resultado es otra función continua.

Las operaciones cumplen las propiedades requeridas. El vector 0 es la función constante 0.

Por tanto se trata de un espacio vectorial real.

• Hay muchos otros espacios vectoriales. Gracias a esto, las propiedades que encontremos para espacios vectoriales en general, las podemos aplicar a matrices, polinomios, funciones.

SUBESPACIOS VECTORIALES

Dado un espacio vectorial V, se dice que un subconjunto S de V es un subespacio vectorial si contiene al vector 0, y si al efectuar las operaciones de suma y producto por escalar entre vectores de S, el resultado permanece en S.

(Se puede decir que S es “cerrado” para las operaciones suma y producto por escalar.)

Es decir:

• 0 ∈ S

• Si v, w ∈ S entonces v + w ∈ S.

• Si v ∈ S y λ es un escalar, entonces λv ∈ S

Ya no hace falta comprobar que se cumplen las propiedades asociativa, conmutativa, etc. puesto que sabemos que se cumplen en V, y por tanto también en S (se dice que S “hereda” las propiedades de las operaciones en V).

Por supuesto si para V utilizamos escalares reales, también para S; si para V utilizamos complejos, también para S.

Ejemplo:

1. La recta x=y es un subespacio de ℜ2. Está formado por los vectores de la forma (a, a). Contiene al vector (0,0).

Además, es cerrado para la suma y producto por escalar:

• Suma: (a, a) + (b, b) = (a + b, a + b) que también es un elemento de la recta

• Producto por un escalar: λ∈ℜ, λ(a,a) = (λa, λa) que también es un elemento de la recta.

2. El plano XY es un subespacio de ℜ3. Está formado por los vectores de la forma (x, y, 0).

Contiene al vector (0, 0, 0).

Además, es cerrado para la suma

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