ALtura Y Caida De Una Pelota

Calcular la altura máxima, la caída y el tiempo en que una pelota alcanza tales puntos

Ejemplo

Se lanza una pelota desde el suelo hacia arriba. La altura que alcanza la pelota, medida desde el suelo en metros, en función del tiempo, medido en segundos, se calcula a través de la siguiente fórmula: h (t) = -5t2 + 20t.

Preguntas

¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota y en qué momento lo hace?

¿Después de cuánto tiempo cae la pelota al suelo?

¿Cómo se contestan las preguntas anteriores si la pelota se lanza a 25m del suelo?

Respuestas

Primero analicemos la situación planteada, el problema dice que se lanza una pelota desde el suelo hacia arriba pero sabemos que por acción de la gravedad de la tierra la pelota debe regresar.

También el problema nos da la fórmula, que es una función cuadrática, la cual relaciona la altura que alcanza la pelota en función del tiempo a partir de su lanzamiento. Entonces, la trayectoria de la pelota si la queremos dibujar será una parábola como la siguiente:

Ahora si, empecemos a contestar las preguntas:

La primera nos pide que hallemos la altura máxima que alcanza la pelota y en que momento lo hace. O sea, tenemos que averiguar el vértice y sus respectivas coordenadas v = (xv , yv), cada una de ellas me dará xv = el tiempo en que alcanza la altura máxima y yv = la altura máxima.

Para hallar el vértice podemos utilizar dos posibilidades:

Como tenemos raíces, podemos calcularlas y luego calcular el vértice.

La segunda opción es usar la fórmula que permite calcular el vértice.

Utilizaré para calcular el vértice la segunda opción. Entonces, en la fórmula reemplazaré las variables por los valores de la función que que estamos analizando.

función: h (t) = -5t2 + 20t.

a = -5; b = 20 y c = 0 , reemplazo en la fórmula:

Calculé xv , ahora tengo que calcular yv pero como ya tenemos el valor de x lo reemplazo en la función para obtener el valor de y. Entonces quedaría así:

h (2) = -5(2)2 + 20(2)

h (2) = -5 . 4 + 40

h (2) = -20 + 40

h (2) = 20.

Ahora si podemos responder la pregunta: la altura máxima que alcanza la pelota es de 20 m a los 2 segundos de ser lanzada.

volvemos

La siguiente pregunta es después de cuánto tiempo cae la pelota en el suelo. Lo que tenemos que averiguar es una de las raíces de la parábola. Ya que, el movimiento empieza en el suelo y termina en el suelo, dicho de otra manera empieza en el eje x y termina en el eje x ( raíces).

Para hallar las raíces igualamos la función a cero y obtenemos:

-5t2 + 20t = 0

...