Ajustes De Curvas

Ajuste de líneas y curvas polinómicas a puntos

Empecemos con una ecuación polinómica de primer grado:

y = ax + b\;

Esta línea tiene pendiente a. Sabemos que habrá una línea conectando dos puntos cualesquiera. Por tanto, una ecuación polinómica de primer grado es un ajuste perfecto entre dos puntos.

Si aumentamos el orden de la ecuación a la de un polinomio de segundo grado, obtenemos:

y = ax^2 + bx + c\;

Esto se ajustará exactamente a tres puntos. Si aumentamos el orden de la ecuación a la de un polinomio de tercer grado, obtenemos:

y = ax^3 + bx^2 + cx + d\;

que se ajustará a cuatro puntos.

Una forma más general de decirlo es que se ajustará exactamente a cuatro restricciones. Cada restricción puede ser un punto, un ángulo o una curvatura (que es el recíproco del radio, o 1/R). Las restricciones de ángulo y curvatura se suelen añadir a los extremos de una curva, y en tales casos se les llama condiciones finales. A menudo se usan condiciones finales idénticas para asegurar una transición suave entre curvas polinómicas contenidas en una única spline. También se pueden añadir restricciones de orden alto, como "el cambio en la tasa de curvatura". Esto, por ejemplo, sería útil en diseños de intercambios en trébol para incorporaciones a autopistas, para entender las fuerzas a las que somete a un vehículo y poder establecer límites razonables de velocidad.

Si tenemos más de n + 1 restricciones (siendo n el grado del polinomio), aún podemos hacer pasar la curva polinómica por ellas. No es seguro que vaya a existir un ajuste exacto a todas ellas (pero podría suceder, por ejemplo, en el caso de un polinomio de primer grado que se ajusta a tres puntos colineales). En general, sin embargo, se necesita algún método para evaluar cada aproximación. El método de mínimos cuadrados es una manera de comparar las desviaciones.

Ahora bien, podríamos preguntarnos la razón de querer un ajuste aproximado cuando podríamos simplemente aumentar el grado de la ecuación polinómica para obtener un ajuste exacto. Existen varias:

Incluso si existe un ajuste exacto, no quiere decir necesariamente que podamos encontrarlo. Dependiendo del algoritmo que se use, podríamos encontrar un caso divergente, donde no se podría calcular el ajuste exacto, o el coste computacional de encontrar la solución podría ser muy alto. De cualquier modo, tendríamos que acabar aceptando una solución aproximada.

Quizá prefiramos el efecto de promediar datos cuestionables en una muestra, en lugar de distorsionar la curva para que se ajuste a ellos de forma exacta.

Los polinomios de orden superior pueden oscilar mucho. Si hacemos pasar una curva por los puntos A y B, esperaríamos

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