Ajuste De Curvas

RESUMEN

En el laboratorio número tres, se realizo el tema de “graficas y ajuste de curvas”, en el cual, se utilizo una computadora en la cual se podía usar el programa de Excel, una calculadora, papeles logarítmicos, papeles semilogarítmicos y papeles milimetrados.

Mediante las experiencias realizadas se aprendieron, los conceptos de ajuste de curvas, método de mínimos cuadrados, ajuste de curvas lineal, el método geométrico, la recta mínima cuadrática, el ajuste de una curva no lineal, la parábola mínima cuadrática, función potencial y función exponencial.

INTRODUCCIÓN

En el laboratorio numero tres se realizo el tema de “graficas y ajuste de curvas” en el cual, se utilizo una computadora en la cual se podía usar el programa de Excel para realizar las graficas que fueron, de función parabólica, de función lineal y de función exponencial, una calculadora, papeles logarítmicos, papeles semilogarítmicos y papeles milimetrados, para poder representar las graficas.

En la experiencia de la tabla numero tres el objetivo fue aprender el concepto de el ajuste de curvas lineales en la cual se utilizaron, el método geométrico y la recta mínima cuadrática, y en la tabla número cuatro y cinco el objetivo fue reconocer los conceptos de el ajuste de una curva no lineal en la cual se utilizaron los métodos de, la parábola mínima cuadrática, función potencial y función exponencial.

TEORÍA DEL TEMA

En el laboratorio numero tres se realizo el tema de “graficas y ajuste de curvas”.

El ajuste de curvas es un proceso mediante el cual, dado un conjunto de N pares de puntos {xi, yi} (siendo x la variable independiente e y la dependiente), se determina una función matemática f(x) de tal manera que la suma de los cuadrados de la diferencia entre la imagen real y la correspondiente obtenida mediante la función ajustada en cada punto sea mínima.

…(1)

Generalmente, se escoge una función genérica f(x) en función de uno o más parámetros y se ajusta el valor de estos parámetros de la manera que se minimice el error cuadrático, ε. La forma más típica de esta función ajustada es la de un polinomio de grado M; obteniéndose para M = 1 un ajuste lineal (o regresión lineal).

…(2)

Hemos enfatizado sobre la importancia de las representaciones gráficas y hemos visto la utilidad de las versiones linealizadas de los gráficos (X, Y) junto a las distintas maneras de llevar a cabo la linealización. A menudo nos confrontamos con situaciones en las que existe o suponemos que existe una relación lineal entre las variables X e Y.

Surge de modo natural la pregunta: ¿cuál es la relación analítica que mejor se ajusta a nuestros datos? El método de cuadrados mínimos es un procedimiento general que nos permite responder esta pregunta. Cuando la relación entre las variables X e Y es lineal, el método de ajuste por cuadrados mínimos se denomina también método de regresión lineal. En este capítulo discutiremos este último caso. El lector puede consultar en el Apéndice F de la Ref. [1] una discusión del caso general de cuadrados mínimos cuando el modelo es no lineal y los datos están afectados de errores.

La dispersión de los valores está asociada a la fluctuación de los valores de cada variable. Observamos o suponemos una tendencia lineal entre las variables y nos preguntamos sobre cuál es la mejor recta:

…(3)

Es útil definir la función x2

…(4)

Que es una medida de la desviación total de los valores observados yi respecto de los predichos por el modelo lineal a x + b. Los mejores valores de la pendiente a y la ordenada al origen b son aquellos que minimizan esta desviación total, o sea, son los valores que remplazados en la Ec. (3) minimizan la función 2, Ec. (4). Los parámetros a y b pueden obtenerse usando técnicas matemáticas que hacen uso del cálculo diferencial. Aplicando estas técnicas, el problema de minimización se reduce al de resolver el par de ecuaciones:

…(5)

De donde resulta:

…(6)

…(7)

Actualmente, la mayoría de los programas de análisis de datos y planillas de cálculo, realizan el proceso de minimización en forma automática y dan los resultados de los mejores valores de a y b, o sea los valores indicado por la ecuaciones (6) y (7).

Figura 1 Gráfico de datos asociados a un modelo lineal. La cantidad yi - y (xi) representa la desviación de cada observación de yi respecto del valor predicho por el modelo y(x).

El criterio de mínimos cuadrados reemplaza el juicio personal de quien mire los gráficos y defina cuál es la mejor recta. En los programas como Excel, Origin, etc., este cálculo se realiza usando la herramienta “regresión lineal” o “ajuste lineal”. Los resultados (6) y (7) se aplican en el caso lineal cuando todos los datos de la variable dependiente tienen la misma incertidumbre absoluta y la incertidumbre de la variable independiente se considera despreciable.

Precauciones en el análisis:

No siempre es suficiente admitir que dos variables siguen una relación lineal guiándonos por lo que muestra un gráfico de los datos en escalas lineales. Menos aun si sólo evaluamos el coeficiente de correlación del ajuste lineal que propondríamos a partir de este gráfico. Un gráfico de Y = X1.1 (variables sin correlación lineal) puede ajustarse por una recta y obtenerse a la vez un coeficiente de correlación lineal (inexistente) de, por ejemplo, 0,998. Un gráfico de datos experimentales de Y = X con algo de dispersión fortuita de los puntos, podría devenir en un coeficiente de, por ejemplo, 0,995, menor que el anterior. Entre los coeficientes hay una diferencia, apenas, del 3 por mil. Pero en un gráfico log-log, la diferencia de pendientes será la que hay entre 1,1 y 1,0, lo que representa un 10% de discrepancia entre los exponentes de la variable X. Estos métodos de análisis nos enseñan que los efectos de correlación pueden estar enmascarados por el efecto

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