AJUSTE DE CURVAS E INTERPOLACIÓN

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AJUSTE DE CURVAS

E INTERPOLACIÓN

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El propósito de modelado de procesos es predecir el comportamiento de los fenómenos químicos y físicos. Más a menudo de lo deseado, los modelos ab-initio no son prácticos para predecir los comportamientos implicados. En cambio, la mayoría de los modelos de procesos emplean modelos fenomenológicos para representar el comportamiento físico y molecular complejo subyacente. Estos son los modelos compactos que dan las características requeridas en una forma manejable.

Ejemplos típicos de los modelos de comportamiento intrínseco incluyen los de las propiedades termodinámicas, propiedades de transporte, y las velocidades de cinética química. Los modelos también se utilizan a menudo para expresar soluciones empíricas para situaciones de flujo complejas, por ejemplo, los modelos de comportamiento de volumen integrado  utilizados para predecir caídas de presión y coeficientes de transferencia de calor.

Estos modelos, por naturaleza, se basan en datos empíricos. Implican dos componentes: (1) una fórmula para el modelo, a menudo una relación algebraica, que contiene una o más constantes ajustables denominadas  parámetros, y (2) los valores que se utilizan para estos parámetros. Los valores de los parámetros se ajustan de manera que las predicciones del modelo coinciden con los datos empíricos disponibles. Tales modelos basados en datos a veces se denominan también como correlaciones.

Hay dos temas que se tratarán en esta unidad, la  interpolación  y ajuste de curvas. Interpolación es conectar puntos de datos discretos de manera plausible por lo que uno puede obtener estimaciones razonables de puntos de datos entre los puntos dados.

La interpolación es la técnica de estimar el valor de una función para cualquier valor intermedio de la variable independiente. El proceso de cálculo o encontrar el valor de una función para cualquier valor de la variable independiente fuera del rango dado se llama extrapolación. Aquí, la interpolación se refiere al método de calcular el valor de la función y = f (x) para cualquier valor dado de la variable independiente x cuando un conjunto de valores de y = f (x) son conocidos o para dan ciertos valores de x.

Por lo tanto, si (xi, yi), i = 0, 1, 2, ...., n son el conjunto de (n + 1) puntos de datos dados de la función y = f (x), entonces el proceso de encontrar el valor de y correspondiente a cualquier valor de x = x0 entre xi y xn, se llama interpolación. Según esta definición la "interpolación consiste en la lectura de un valor que se encuentra entre dos puntos extremos".

Si la función f (x) se conoce explícitamente, entonces, el valor de y correspondiente a cualquier valor de x puede obtenerse fácilmente. Por otro lado, si la función f (x) no se conoce, entonces es muy difícil de encontrar la forma exacta de f (x) con los valores tabulados (xi, yi). En tales casos, la función f (x) puede ser sustituida por una más simple, la función, por ejemplo, φ (x), que tiene los mismos valores que f (x) para x0, x1, x2, ...., xn. La función φ (x) es llamada función  interpolante o  función de suavizado y cualquier otro valor puede calcularse a partir φ (x).

Por otro lado, el ajuste de curvas o aproximación, es encontrar la curva que mejor podría indicar la tendencia de un determinado conjunto de datos. En este caso, la curva no tiene que pasar por los puntos de datos. En algunos casos, los datos pueden tener precisión, confiabilidad e incertidumbre diferente y necesitamos la curva ponderada de mínimos cuadrados para procesar la conexión de los datos. El ajuste de curvas se aplica a los datos que contienen la dispersión (ruido), generalmente debido a errores de medición.

La diferencia de la interpolación y ajuste de curvas se ilustra en la figura 4.1.

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Figura 4.1 Curva de interpolación y ajuste de datos por regresión

Si φ (x) es un polinomio, entonces φ (x) se denomina polinomio de interpolación y el proceso de cálculo de los valores intermedios de y = f (x) se llama la interpolación polinómica. En el estudio de la interpolación, hacemos los siguientes supuestos:

a) No hay saltos bruscos en los valores de la variable dependiente para el período considerado

b) La tasa de variación de las cifras de un periodo a otro es uniforme.

Interpolación Polinomial

4.1 Interpolación por polinomios de Lagrange

Para un determinado conjunto de n + 1 puntos [pic 5], la forma más simple de interpolar es un polinomio.

Para un determinado conjunto de n + 1 puntos [pic 6], la forma más simple de interpolar es un polinomio.

Lo que queremos encontrar son los coeficientes de una función polinómica de grado n-ésimo que los satisfaga:

[pic 7]                  (4.1)

Un medio para obtener este polinomio es mediante la fórmula de Lagrange

[pic 8]                     (4.2)

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