Aplicacionde Las Integrales En La Biologia

DE LAS MATEMATICAS PARA BI ´ OLOGOS A LA BIOLOG ´ ´IA

MATEMATICA: Un punto de vista particular a trav´es del An´alisis ´

Matem´atico y la Din´amica de Poblaciones

A. Ca˜nada∗

1.991 Mathematics Subject Classification: 92D25, 34-01, 35-01, 49-01.

Palabras clave: Din´amica de poblaciones, Modelos del tipo Lotka-Volterra, Difusi´on,

Control Optimo, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Ecuaciones en Derivadas ´

Parciales.

Resumen

En este art´ıculo, de car´acter divulgativo, se repasan algunos modelos matem´aticos

que surgen en Din´amica de Poblaciones, poniendo de manifiesto el papel del An´alisis

Matem´atico en el estudio de los mismos. Se comienza con el modelo cl´asico del tipo

Lotka-Volterra, sin difusi´on, para pasar despu´es al caso de modelos con difusi´on. Se

hace un especial hincapi´e en la elaboraci´on del modelo matem´atico para esta ´ultima

clase de situaciones. Por ´ultimo, se habla muy brevemente de un aspecto muy actual

en Din´amica de Poblaciones: aqu´el que hace referencia al Control Optimo de las ´

especies con objeto de conseguir un rendimiento m´aximo.

1. Introduccion. ´

¿Cu´al es el objeto de la Matem´atica? ¿Tratar de explicar los fen´omenos de la Naturaleza

o es una disciplina cuyo ´unico prop´osito es el desarrollo placentero y bello de

cuestiones abstractas, con entes inexistentes y que no persigue la aplicaci´on de sus

conclusiones a problemas concretos de la realidad cotidiana? Creo que esta es una

cuesti´on “indecidible”, que ha animado en no pocas ocasiones las charlas de caf´e de

los docentes en Matem´aticas.

Aquellos que se han interesado por leer con detalle alg´un buen tratado de Historia

de la Ciencia, saben que el origen del conocimiento matem´atico se encuentra muchas

veces en el intento de explicar fen´omenos concretos de otras Ciencias (F´ısica, Ingenier´ıa,

Astronom´ıa, etc.); en numerosas ocasiones, los matem´aticos se han creado sus

∗Departamento de An´alisis Matem´atico. Universidad de Granada, 18071, Granada, Espa˜na; e-mail:

acanada@goliat.ugr.es. Este art´ıculo es una versi´on ampliada de una conferencia impartida en la

la Universidad de Ja´en el d´ıa 15/3/1.999, atendiendo a la invitaci´on realizada por el profesor

Juan Navas Ure˜na, en nombre del Departamento de Matem´aticas. El autor agradece la invitaci´on

realizada por este Departamento y la actitud e inter´es mostrados por el profesor Navas, en la

organizaci´on de esta clase de conferencias divulgativas sobre Biolog´ıa Matem´atica.

1propios problemas, a partir de otros m´as sencillos que han sido resueltos. En todos

los casos, es la curiosidad cient´ıfica la que lleva a plantearse cuestiones relacionadas,

tratando de entender todos los aspectos posibles del problema, o quiz´as su relaci´on

con otros. El verdadero Matem´atico, aunque su estudio est´e motivado por un problema

concreto de la realidad, sentir´a la necesidad de explicar muchos fen´emenos que

no ha observado y que quiz´as no est´en conectados con la realidad; intentar´a explorar

todas las direcciones posibles, incluso las que piense que no puedan ser ´utiles. Como

suele decir mi buen amigo y colega, el profesor Angel Rodr´ıguez Palacios, eminente

cient´ıfico, del Departamento de An´alisis Matem´atico de la Universidad de Granada:

“me gustar´ıa que, en el futuro, si alguien interesado lee mis trabajos matem´aticos,

sintiera esa sensaci´on de belleza y armon´ıa que se puede percibir en la creaci´on musical”.

La Historia de la Matem´atica nos proporciona muy buenos ejemplos de teor´ıas que

nacieron de manera abstracta y que posteriormente han sido de gran utilidad en el

estudio de la Naturaleza y de otras teor´ıas que nacieron y se desarrollaron por problemas

concretos. Por ejemplo, la necesidad de explicar fen´omenos de tipo vibratorio

(como el problema de la cuerda vibrante) o el proceso de difusi´on del calor, motiv´o,

a J. Bernouilli y a J. Fourier a iniciar la teor´ıa de Series de Fourier, que ha tenido

una gran influencia en el desarrollo de muchos temas abstractos dentro del An´alisis

Matem´atico (Teor´ıa de Conjuntos, Teor´ıa de integraci´on y medida, Operadores

definidos en espacios de dimensi´on infinita, etc.). En la direcci´on opuesta, la creaci´on

de la teor´ıa abstracta de espacios normados y de Hilbert de dimensi´on infinita, y el

estudio, tambi´en abstracto de operadores definidos entre ellos, ha permitido ver con

mucha m´as claridad cu´al es el papel de los m´etodos de Fourier en las aplicaciones de

la matem´atica, y aplicarlos incluso a problemas, en apariencia distintos, pero de la

misma

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