Aplicaciones De La Diferencial En La Quimica

Colegio de Bachilleres de Tabasco

PRESENTACION

NOMBRE DEL ALUMNO (A):

DALIA FERNANDA BAEZA CHABLE

SEMESTRE:

6º

GRUPO:

D

TURNO:

MATUTINO

TRABAJO ELABORADO PARA LA MATERIA DE:

CALCULO INTEGRAL

CATEDRATICO (A):

MIGUEL ANTONIO PULIDO CHAPUZ

VILLAHERMOSA, TABASCO

BLOQUE I - APLICAS LA DIFERENCIAL EN ESTIMACIÓN DE ERRORES Y APROXIMACIONES DE VARIABLES EN LAS CIENCIAS EXACTAS, SOCIALES, NATURALES Y ADMINISTRATIVAS.

A partir del análisis concepto de diferencial el estudiantado calcula e interpreta, determina y/o estima errores y aproxima distintos parámetros físicos y/ o geométricos.

INTRODUCCION

El cálculo diferencial es una parte importante del análisis matemático y dentro del mismo del cálculo infinitesimal. Consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objetos del análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.

En el estudio del cambio de una función, es decir, cuando cambian sus variables independientes es de especial interés para el cálculo diferencial el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero. Y es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es la principal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia claramente del álgebra.

La derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en cada punto x. Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos. Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.

La inversa de una derivada se llama primitiva, antiderivada o integral indefinida.

Por eso en cálculo existen las derivadas y las integrales que tienen diferentes campos de aplicación, pero en este caso en particular, nos referiremos a los beneficios que se obtienen mediante el uso de sus aplicaciones en la química.

APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL EN LA QUIMICA

Antes de hablar sobre el tema de las aplicaciones y como se utiliza en la diferenciación debemos definir algunos conceptos.

Como lo es la diferenciación:

-Sea y=f(x) una función derivable en un intervalo abierto que contiene al número x.

-Se define a la diferencial de x como dx, cualquier número real diferente de cero.

-Se define a la diferencial de y como dy, dado por dy=f '(x) dx.

Que puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio, si está determinada una relación matemática entre dos objetos.

Hay muchas aplicaciones de ecuaciones deferenciales a los procesos químicos y algunas de estas vienen explicadas en los siguientes ejemplos…

Ejemplo 1:

Un tanque está lleno con 10 galones de agua salada en la cual están disueltas 5lb de sal. Si el agua salada está conteniendo 3lb de sal por gal que entra al tanque a 2 gal por minuto y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa.

- Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.

- ¿Cuánta sal está presente después de 10min?

- ¿Cuánta sal está presente después de un tiempo largo?

Formulación Matemática:

Sea A el número de libras de sal en el tanque después de t minutos. Luego dA / dt es la tasa de cambio de esta cantidad de sal en el tiempo y está dada por:

dA / dt = tasa de cantidad ganada - tasa de cantidad perdida

Puesto que entran 2gal/min. Conteniendo 3lb/gal de sal tenemos que la cantidad de sal que entra por minuto es:

2gal / min. x 3 lb./gal = 6 lb./min. Lo cual es la tasa a la cual se gana sal. Puesto que siempre hay 10 gal en el tanque y debido a que hay A libras de sal en cualquier tiempo t, la concentración de sal al tiempo t es A libras por 10gal.

La cantidad de sal que sale por minuto es igual a:

Alb / 10gal x 2gal / min. = 2A lb. / 10min. = A lb./ 5min.

l

De: (dA / dt),(6 lb./min.) y (A lb./5min) tenemos que: dA / dt = 6 - A/5.

Puesto que inicialmente hay 5lb. De sal, tenemos que A = 5 en t = 0. Así, la formulación matemática completa es:

dA / dt =6 - A/5 A = 5 en t = 0

Solución:

Usando el método de separación de variables, tenemos:

" (dA / 30 - A) = " (dt / 5) ó - ln (30 - A) = t / 5 + c

Puesto que A = 5 en t = 0, c = - ln 25.

Así ln (30 - A) = t/5 - ln 25 = ln[(30 - A)/25] = A = 30 - 25 e

Que es la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t.

Al final de los 10min. La cantidad de sal es A = 30 - 25 e ² = 26.6 lb.

Después de un tiempo largo, esto es, cuando t!", vemos que A!30 lb., Esto también podría ser visto desde la ecuación diferencial haciendo dA / dt = 0, puesto que también A es una constante cuando se alcanza el equilibrio.

Las ecuaciones diferenciales también tienen aplicación dentro de los problemas de mezclas. En estos problemas aparecen involucradas sustancias, las cuales se mezclan dentro de un recipiente de volumen dado V0.

Ejemplo 2 – Mezclas químicas:

Dos químicos, A y B,

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