Areas Integrales

INTRODUCCIÓN

Las derivadas y las integrales tienen diferentes campos de aplicación, pero en este caso en particular, nos referiremos a los beneficios que se obtienen mediante el uso de las integrales, lo cual fue tema de la clase de Cálculo II.

Para llevar a cabo estas aplicaciones, nos valimos del uso de dos herramientas elementales:

Las integrales definidas y El Teorema Fundamental del Cálculo Integral

Al tener el conocimiento necesario sobre estos dos puntos se podrá llevar a cabo cualquiera de las aplicaciones aquí mencionadas, sumado claro, con las reglas individuales de cada caso en mención.

El concepto de integral definida surge íntimamente ligado al de área. Riemann introduce la integral definida de una función continua en un intervalo a partir del límite de una suma de áreas de rectángulos. Por ello, una de las aplicaciones más inmediatas de la integral definida es el cálculo de áreas de recintos planos acotados y definidos por curvas o gráficas de funciones.

El cálculo de áreas sencillas limitadas por curvas puede contribuir a ayudar al alumno a comprender la potencia del cálculo integral y a familiarizarse con aspectos prácticos del mismo. Ha de servir como introducción para otras aplicaciones de las integrales en los diferentes campos de la ciencia: Física, Biología, Ingeniería o Economía. En ellas, la integral definida permitirá medir magnitudes a través de la medida de áreas.

Para realizar las actividades de esta unidad, el alumno deberá estar familiarizado con la definición de integral definida y la Regla de Barrow.

OBJETIVOS

• Comprender la relación entre el concepto de integral definida y el de área de un recinto plano.

• Representar e identificar regiones del plano delimitadas por la intersección de curvas y rectas dadas.

• Interpretar el valor y el signo de la integral definida para obtener el área de un recinto definido por gráficas de funciones en los intervalos de integración, tanto si la función es positiva como si es negativa.

• Representar y calcular el área de un recinto limitado por las gráficas de dos funciones que se cortan en más de un punto, así como, desarrollar estrategias para simplificar el cálculo cuando aparezcan regularidades.

• Concienciar de la importancia del cálculo integral y de sus aplicaciones.

MARCO TEÓRICO

Problema del cálculo de un área

Si A es el área buscada se tiene: SD < A < SE

Cuando el número de divisiones del intervalo [a, b] crezca indefinidamente las áreas por defecto (SD) y por exceso (SE) coincidirán y ese valor común será el área encerrada

(Intuitivo. No lo formalizamos, si necesitas más teoría visita este enlace Integración)

A ese valor se le llama la integral definida de f en [a, b]. Se escribirá:

Áreas de recintos planos

Geométricamente la integral definida mide el área comprendida entre la curva y = f(x) (f positiva en [a, b] ) el eje de las X y las rectas x = a y x = b.

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