El Uso de las Integrales en las Diferentes Áreas

Benemérita Universidad Autónoma de Puebla

Armando Martínez García

Conceptos de Cálculo

Trabajo de Investigación

El Uso de las Integrales en las Diferentes Áreas

Carolina Arce Mendoza

201314157

25 de Noviembre del 2013

Introducción

La integral nace como consecuencia de responder la siguiente pregunta: si se conoce la velocidad de una partícula para un tiempo determinado ¿podemos conocer la ley de movimiento de tal partícula? La respuesta no es fácil de contestar, esta respuesta lleva a crear una nueva disciplina que en apariencia no tiene nada que ver con la derivada “el cálculo integral”.

Cálculo integral es la rama de las matemáticas que busca obtener una función a partir de su derivada.

Integral es el signo que indica la integración y el resultado de integrar una expresión diferencial.

En el campo de las construcciones , los arquitectos , ingenieros y profesionales de estas áreas usualmente emplean la integral para obtener el área de superficies irregulares.

También el cálculo integral lo utilizan los administradores cuando trabajan con los costos de una empresa. Al tener el costo marginal de producción de un producto, pueden obtener la formula de costo total a través de integrales.

En el campo de la Ingeniería electrónica, las integrales cumplen una función muy importante, para calcular corrientes, capacitancias, tiempos de carga y descarga de corriente, entre otras. Pero fundamentalmente, el cálculo integral es utilizado en circuitos RLC (resistencia, condensador y bobina) para analizar su comportamiento dentro del circuito.

El cálculo Integral lo utiliza la medicina para encontrar el ángulo de ramificación optimo en los vasos sanguíneos para maximizar el flujo

Química.- Se usa el cálculo integral para determinar los ritmos de las reacciones y el decaimiento radioactivo.

Informática y computación.- En la fabricación de chips ; miniaturización de componentes internos; administraciónde las compuertas de los circuitos integrados; compresión y digitalización deimágenes, sonidos y videos; investigación sobre inteligencias artificiales.

El primer uso de las integrales data del Antiguo Egipto (1800 a.C.) para el cálculo de volúmenes. Este concepto fundamental de las matemáticas fue perfilado y perfeccionado desde entonces por numerosos científicos entre los que destacaron Arquímedes, Fermat y Barrow. Sin embargo, los principales adelantos en integración llegaron a mediados del siglo XVII (1665) gracias a la elaboración del “Teorema fundamental del cálculo” de mano de dos brillantes matemáticos: Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Este hallazgo no fue cooperativo, sino individual, hecho que generó vigorosas disputas por la autoría del mismo.

Finalmente Cauchy, Riemann y Lebesgue formalizaron el sistema actual de cálculo de integrales empleando el uso de límites.

Índice

El Uso de las Integrales en Economía

Los economistas sostienen que algunas veces es más fácil obtener los datos que reflejan los incrementos ocasionados en los costos e ingresos, obtenidos con la producción y venta adicional de un determinado artículo.

Costo Marginal.

Si la función costo marginal está dada por Entonces, el costo total será la integral con respecto a x de la función costo marginal, es decir, Para obtener una única función de costo total, al integrar dicha función, debe especificarse una condición inicial, la cual es el costo jo.

Ejemplo:

Una agencia de seguros sabe que la función costo marginal por producir x seguros de gastos médicos es Q0(x)=32x+92 donde x es el número de unidades producidas y Q0(x) es el costo marginal dado en pesos. Encontrar la función de costo total, si el coto jo es de $10.

Solución:

Sustituyendo la condición inicial Q(0)=10; entonces, la función de costo total es

Ingreso Marginal

El ingreso marginal que depende de la cantidad demandada, es la derivada del ingreso total con respecto a x, es decir, Por tanto, la función ingreso total es la integral, con respecto a x de la función ingreso marginal, es decir y dado que, . Se tiene que especificar una condición inicial para obtener una única función de ingreso total. Para evaluar la constante de integración puede usarse la condición inicial de que el ingreso es nulo cuando la cantidad de demanda es nula.

Ejemplo:

La aseguradora del ejemplo anterior da un precio de $680 por unidad de venta de un seguro de gastos médicos. De aquí se tiene que la función de ingreso total por ventas R(x), se integra

Como R(0)=0, entonces la función de ingreso total por la venta de x de seguros de gastos médicos es

Beneficios (Ingresos contra Costos)

La integración se utiliza en administración y economía para determinar el beneficio total o las ganancias netas totales. En general, se maximiza el beneficio (suponiendo libre competencia) cuando el ingreso marginal es igual al costo marginal. El beneficio total se determina integrando la diferencia entre el ingreso marginal y el costo marginal, desde cero hasta la cantidad xº para la cual el beneficio es máximo, es decir

Ejemplo:

Determinar el beneficio total de la producción y venta de gastos médicos de los ejemplos anteriores.

Solución:

La función ingreso marginal es R0(x)=680 y la función marginal es Q0(x)=32x+92; igualando el costo marginal se tiene que cuando se produce y se vende x=18:375 seguros de gastos médicos la ganancia será máxima, en este caso se considera x=18 ya que no se producen partes de seguros.

Como la ganancia es igual al ingreso por ventas menos el costo de producción, entonces las ganancias máximas ocurren cuando

es decir

La ganancia máxima es de $5,390 cuando se vendan 18 seguros de gastos médicos. Si la aseguradora desea conocer el incremento en las ganancias cuando las unidades vendidas aumentan de 18 a 19, se calcula la integra entonces, al incrementar la venta en una unidad, se tiene una disminución en la ganancia de $4.

El Uso de las Integrales en la Demografía

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