El uso de vectores en las áreas de matemáticas

Vectores

Temas Selectos de Física

Ernesto Alessandro Carranza Icaza

Indice:

• Introducción 3

• Vectores 4

• Métodos 7

• Algebra lineal 12

• Bibliografía 14

Introducción:

Vector es un segmento de recta, si se lo ubica en un plano o en un espacio, sirve para medir la magnitud de una fuerza o alguna otra característica, su longitud determina una cantidad de unidades que se llama magnitud y su posición en el plano o espacio, su dirección y sentido. Se pude sumar, restar... y representan magnitudes complejas, por necesitar 2 ó más magnitudes, según el sistema, bidimensional o tridimensional. Se pude usar el sistema gráfico o analítico (que es el más preciso).

En la física y en muchas otras ramas de las matemáticas se usan vectores para mostrar gráficamente una magnitud física también para saber su sentido y dirección. En este trabajo veremos sus conceptos básicos así como sus diferentes tipos de vectores, funciones, teoremas, formulas, etc.

Los Vectores

Un vector es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física definida por su módulo, su dirección y su sentido. En matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial, esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo, la longitud y la orientación.

Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos en el plano o en el espacio .

Son ejemplos de magnitudes vectoriales: la velocidad con que se desplaza un móvil, ya que no queda definida tan sólo por su módulo; la fuerza que actúa sobre un objeto, ya que su efecto depende, además de su intensidad o módulo, de la dirección en la que actúa; también, el desplazamiento de un objeto.

Magnitud física:

Es una propiedad o cualidad medible de un sistema físico, es decir, a la que se le pueden asignar distintos valores como resultado de una medición. Las magnitudes físicas se miden usando un patrón que tenga bien definida esa magnitud, y tomando como unidad la cantidad de esa propiedad que posea el objeto patrón. Por ejemplo, se considera que el patrón principal de longitud es el metro en el Sistema Internacional de Unidades.

Escalar:

Se denomina escalar cuando puede representarse con un único número (única coordenada) invariable en cualquier sistema de referencia. Así la masa de un cuerpo es un escalar, pues basta un número para representarla (por ejemplo: 75 kg). Por el contrario una magnitud es vectorial o más generalmente tensorial, cuando se necesita algo más que un número para representarla completamente. Por ejemplo, la velocidad del viento es una magnitud vectorial, ya que además de su módulo (que se mide como una magnitud escalar), debe indicarse también su dirección (norte, este, etc.), que se define por un vector unitario. En cambio, la distribución de tensiones internas de un cuerpo requiere especificar en cada punto una matriz llamada tensor tensión y por tanto el estado de tensión de un cuerpo viene representado por una "magnitud tensorial"

Representación gráfica de los vectores

Aunque hay quien no recomienda el uso de gráficos para evitar la confusión de conceptos y la inducción al error, sin investigación que lo corrobore, también es cierto que la memoria se estimula con mejores resultados. Para ello veamos las notas:

• Llamaremos vector a la representación visual con el símbolo de flecha (un segmento y un triángulo en un extremo).

• La rectitud visual de una flecha o curvatura de la misma, no la hace diferente en símbolo si los dos extremos permanecen en el mismo lugar y orden.

• El que una flecha cierre en sí misma, indica la ausencia de efectos algebraicos.

• Para visualizar la suma de vectores se hará encadenándolos, es decir, uniendo el extremo que tiene un triángulo (final) del primer vector con el extremo que no lo tiene (origen) del segundo vector manteniendo la dirección y distancia, propias al espacio, de sus dos extremos, ya que estas dos cualidades los distingue visualmente de otros vectores.

Notación de vectores:

Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan colocando una flecha sobre la letra que designa su módulo (el cual es un escalar).

Ejemplos:

 ... representan, respectivamente, las magnitudes vectoriales de módulos A, a, ω,... El módulo de una magnitud vectorial también se representa encerrando entre barras la notación correspondiente al vector: ...

 En los textos manuscritos se escribe: ... para los vectores y ... o ... para los módulos.

Cuando convenga, se representan la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento orientado que la representa geométricamente; así, se designan los vectores representados en la Figura 2 en la forma , ... resultando muy útil esta notación para los vectores que representan el desplazamiento.

Además de estas convenciones los vectores unitarios o versores, cuyo módulo es la unidad, se representan frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo .

Tipos de vectores:

Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:

Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular.

Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción.

Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular.

Podemos referirnos también a:

• Vectores unitarios: vectores de módulo unidad.

• Vectores concurrentes: sus rectas de acción concurren en un punto propio o impropio (paralelos).

• Vectores opuestos: vectores de igual magnitud, pero dirección contraria.

• Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de acción.

• Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en un mismo plano).

Método de triangulo:

En este método, los vectores se deben trasladar (sin cambiarle sus propiedades) de tal forma que la "cabeza" del uno se conecte con la "cola" del otro (el orden no interesa, pues la suma es conmutativa). El vector resultante se representa por la "flecha" que une la "cola" que queda libre con la "cabeza" que también está libre (es decir se cierra un triángulo con un "choque de cabezas”. En la figura 1 se ilustra el método.

Figura 1

En la figura 1 el vector de color negro es la suma vectorial de los vectores de color rojo y de color azul.

Si la operación se hace gráficamente con el debido cuidado, sólo bastaría medir con una regla el tamaño del vector de color negro utilizando la misma escala que utilizó para dibujar los vectores sumandos (el rojo y el azul). Esa sería la magnitud de la suma. La dirección se podría averiguar midiendo con un transportador el ángulo que forma con una línea horizontal. Pero no nos basta con saberlo hacer gráficamente. Tendremos que aprenderlo a realizar analíticamente. Para ello se deben utilizar los teoremas del seno y del coseno y si es un triángulo rectángulo se utilizará el teorema de Pitágoras.

En el caso de la figura 1 las relaciones posibles entre los lados de ese triángulo son las siguientes:

.

Método del paralelogramo:

Nos sirve para sumar dos vectores simultáneos.

1.-Consiste en dibujar los dos vectores a escala con sus orígenes coincidiendo con el origen

2.-Los vectores forman de esta manera los lados adyacentes de un paralelogramo, los otros dos lados se construyen dibujando líneas paralelas en los vectores de igual magnitud.

3.-La resultante se obtendrá de la diagonal del paralelogramo a partir del origen común de los vectores.

Método del polígono:

1.- Escoja una escala a y determine la longitud de las flechas que corresponden a cada vector.

...