Banda De Mobius

La Banda de Möbius

Presentado por:

RUBEN ALVEIRO CASTELLANOS CALDERON

Estudiante de Matemáticas, Cod. 2100576

Presentado a:

YANIRA SANABRIA

.

Escuela de Matemáticas

Facultad de Ciencias

Universidad Industrial de Santander

Bucaramanga

2015

Introducción

La topología es una disciplina de la matemática que estudia las propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas. Es una disciplina que estudia propiedades de los espacios topológicos y la continuidad de las funciones. La Topología hace hincapié en conceptos de proximidad, número de agujeros, consistencia (o textura) de un objeto, comparar objetos y clasificar, entre otros múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad o metrizabilidad, etc.

El siguiente trabajo contiene material referente a uno de esos cuerpos geométricos, como es la banda de Möbius, que presenta características particulares escritas a continuación. El estudio de esta superficie nos mostrara cual interesante puede llegar a ser la matemática al observar situaciones que modifican la visión de que la matemática es exacta y que algo que está hecho no se puede cambiar.

Uno de los problemas que miraremos en este trabajo es mirar que tan interesante y tedioso puede ser el "problema de las tres casas y los tres suministros de servicios en la banda de Möbius” problema que no tiene solución en el plano, pues Kazimierz Kuratowski mostro que no se puede construir un grafo K_33 en el plano, (es decir no se puede dibujar en un plano sin que haya cortes entre aristas en puntos que no son vértices), por lo que el “problema de los suministros” no tiene solución en un plano, valga la aclaración que en este trabajo solo se busca observar y obtener los resultados de manera visual que se obtienen al hacer el experimento en una banda de Möbius.

Vemos la importancia de las matemáticas, en este caso concreto de la geometría y topología en la cotidianidad observando resultados experimentales donde estos están soportados con sus respectivas demostraciones matemáticas rigurosas. Mostrando de forma didáctica una compleja teoría de la matemática que no es abstracta.

OBJETIVOS

GENERAL

Observar las propiedades experimentales de la Banda de Möbius.

ESPECÍFICOS:

Promover el gusto por la topología y geometría desde un hecho experimental.

Observar las propiedades obtenidas experimentalmente de hechos ya demostrados matemáticamente.

Conocer algunas aplicaciones y utilidades de la banda de Möbius en ciencia, ingeniería, arquitectura y otras áreas.

JUSTIFICACION

La realización de este proyecto es mostrar la superficie geométrica denominada banda de Möbius como herramienta de motivación e interés en los alumnos, tanto de bachillerato como universitarios, en sus clases de matemáticas. Esta superficie, tiene varias propiedades muy curiosas, es en realidad un bucle girado, normalmente hecho de papel, fácilmente manipulable por los estudiantes. Para su construcción únicamente se necesitan lápiz, papel, pegamento y tijeras.

El objetivo principal de este trabajo es conocer las propiedades de la banda de Möbius, es por esta razón que en el desarrollo del mismo mostramos la solución a un problema muy conocido especialmente en bachillerato como lo es: El problema de las tres casas y los tres servicios públicos sin que se corten las tuberías. Kazimierz Kuratowski mostro que el problema no tiene solución en el plano ya que no se puede construir el grafo K_33 es decir no es plano (no se puede dibujar en un plano sin que haya cortes entre aristas en puntos que no son vértices), por lo que el “problema de los suministros” no tiene solución en un plano.

En general las propiedades de la banda de Möbius son muy interesantes es por ello que más adelante mostramos como se ven cada una de ellas en la parte experimental del trabajo apoyándonos en imágenes para que le sea más fácil al lector su comprensión.

Desde su definición la banda de Möbius se ha mostrado como una alternativa para abordar y resolver problemas abiertos. Por esta razón, considero que es importante realizar un estudio y hacer una presentación organizada de la banda de Möbius propiedades y principales aplicaciones en las diversas ramas de la ciencia.

Referente teórico

La Banda de Möbius es una superficie (con borde): fue descubierta en 1858 de forma independiente por el matemático y astrónomo August Ferdinand Möbius (1790-1868) y por el considerado como fundador de la topología Johann Benedict Listing (1808-1882)

Por su parte August Ferdinand Möbius, En una memoria, presentada a la “Académie des Sciences” y apenas descubierta hasta después de su muerte, discutió las propiedades de las superficies de una sola cara, que incluyen la famosa banda de Möbius, que descubrió en 1858. Este descubrimiento lo hizo al trabajar en una pregunta sobre la teoría geométrica de los poliedros, planteada por la Academia de París.

Aunque conocemos este objeto hoy en día como banda de Möbius, no fue Möbius quien lo describió primero; tomando cualquier criterio, ya sea fecha de publicación o fecha del primer descubrimiento, en esto lo precedió Listing o al menos tiene una enorme coincidencia en el tiempo. En 1847, Johann Benedict Listing publicó Vorstudien zur Topologie. “Pre estudios sobre Topología” Por cierto esta es la primera vez que aparece la palabra topología.

En 1858 independientemente de Möbius descubre las propiedades de las bandas. Su trabajo incluye resultados sobre giros, semigiros, cortes, divisiones y longitudes.

La Banda de Möbius es, desde el punto de vista topológico, una superficie (dimensión dos), con un único borde y una única cara; es además no orientable: todas las propiedades singulares de la banda de Möbius (y de cualquier otro objeto que esté formado por una o varias de estas bandas) se derivan de la falta de orientabilidad.

Para hacernos una idea del porque la Banda de Möbius es no orientable podemos dibujar por ejemplo una mano sobre la banda y muévala a lo largo de su única cara, y observamos que cuando regresas al punto de partida, ¡la mano ha cambiado de sentido! Ver gráfica.

Por otra parte

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