Base Ortonormal

baseortonormal

álgebra lineal, una base ortonormal de un espacio prehilbertianoV (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de HilbertH, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria. Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por un escalar apropiado y de hecho, esta es la forma habitual en la que se obtiene una base ortonormal: por medio de una base ortogonal.

Así, una base ortonormal es una baseortogonal, en la cual la norma de cada elemento que la compone es unitaria.

Estos conceptos son importantes tanto para espacios de dimensión finita como de dimensión infinita. Para espacios de dimensión finita, la condición de span denso es la misma que la de 'span', como se usa en álgebra lineal.

Una base ortonormal por lo general no es una "base", es decir, en general no es posible escribir a cada elemento del espacio como una combinación lineal de un número finito de elementos de la base ortonormal. En el caso de dimensión infinita, esta distinción cobra importancia: la definición dada requiere solo que el span de una base ortonormal sea densa en el espacio vectorial, y no que iguale al espacio entero.

Una base ortonormal de un espacio vectorial V no tiene sentido si el espacio no posee un producto interno. Un Espacio de Banach no tendrá una base ortonormal a no ser que sea un espacio de Hilbert.

Descripción:

Una base de un espacio vectorial es ortogonal cuando los vectores que la forman son perpendiculares dos a dos.

Una base de un espacio vectorial es ortonormal cuando es una base ortogonal y sus vectores son unitarios

Descriptores:

Espacio euclídeo

Álgebra

Ejemplo:

a. Comprobar que los vectores (3,1)(−2,6) es una base ortogonal de R 2

b. Comprobar que los vectores (3/10−−√,1/10−−√)(−2/40−−√,6/40−−√) de R 2 forman una base ortonormal

a. Los vectores u=(3,1),v=(−2,6) forman una base

Son linealmente independientes

λu+μv=λ(3,1)+μ(−2,6)=(3λ,λ)+(−2μ,6μ)=(3λ−2μ,λ+6μ)=(0,0)⇒3λ−2μ=0,λ+6μ=0⇒λ=μ=0

Es un sistema de generadores

λu+μv=λ(3,1)+μ(−2,6)=(3λ,λ)+(−2μ,6μ)=(3λ−2μ,λ+6μ)=(x,y)⇒3λ−2μ=x,λ+6μ=y⇒λ=3x+y10μ=y−7x10

Son ortogonales, hacemos el producto escalar de los dos vectores

(3,1)⋅(−2,6)=(3(−2)+6)=0⇒cosα=0⇒α=90º

El ángulo que forman los dos vectores es un ángulo recto, porque el producto escalar vale cero.

b. Como ∥(3,1)∥=10−−√,

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