Base ortonormal y proceso de Ortonormalizacion de Gram-Schmidt
Enviado por Diego Alberto Lopez Sanchez • 28 de Mayo de 2017 • Tarea • 1.102 Palabras (5 Páginas) • 1.230 Visitas
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TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO
Instituto Tecnológico de Agua Prieta
M.C Reyes Guadalupe Encinas Montoya
Diego Alberto López Sánchez
Investigación correspondiente al tema 4
Algebra Lineal
Ingeniería Mecatrónica
II Semestre
Objetivo
El objetivo de esta investigación es conocer sobre las bases ortonormales y el proceso de ortonormalizacion de Gramm-Schmidt. Asi mismo conocer las aplicaciones en la vida real de los espacios vectoriales.
Base ortonormal
Nuestra experiencia con las bases naturales o canonicas para , y, en general , nos ha mostrado que su uso reduce apreciablemente los cálculos. Un subespacio W de no necesariamente contiene alguno de los vectores de tales bases, pero en esta investigación mostraremos que si tiene una base con las mismas propiedades de las bases canonicas. Es decir, mostraremos que existe una base S para W tal que cada uno de sus vectores tiene longitud 1 y cada dos vectores de S son ortogonales. El método para obtener dicha base, que presentare en esta investigación, se conoce como proceso de Gram-Schmidt.[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]
En Rn se vio que n vectores linealmente independientes constituyen una base. La base canónica E 5 {e1, e2, . . . en } es la de mayor uso. Estos vectores tienen dos propiedades:
- = 0 si i ≠j[pic 7]
- = 1[pic 8]
Conjunto ortonormal en Rn
Se dice que un conjunto de vectores S 5 {u1, u2, . . . , uk} en Rn es un conjunto ortonormal si
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Como se trabajará ampliamente con el producto escalar en esta sección, recordaremos algunos hechos básicos .Sin mencionarlos de nuevo en forma explícita, se utilizarán en el resto de esta investigacion. Si u, v y w están en Rn y a es un número real, entonces
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Longitud o norma de un vector Si v P Rn, entonces la longitud o norma de v, denotada por |v|, está dada por
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De esta forma se puede obtener la raíz cuadrada en |v| = y se tiene[pic 13]
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Un conjunto de vectores es ortonormal si cualquier par de ellos es ortogonal y cada uno tiene longitud 1.
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Ahora se verá cómo cualquier base en Rn se puede “convertir” en una base ortonormal. El método descrito a continuación se denomina proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.
Proceso de ortonormalizacion de Gram Schmidt.
Sea H un subespacio de dimensión m de Rn. Entonces H tiene una base ortonormal.
Sea S 5 {v1, v2, . . . , vm} una base de H. Se probará el teorema construyendo una base ortonormal a partir de los vectores en S. Antes de dar los pasos para esta construcción, se observa el hecho sencillo de que un conjunto de vectores linealmente independiente no contiene al vector cero
Paso 1. Elección del primer vector unitario
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Paso 2. Elección de un segundo vector ortogonal a [pic 17]
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Paso 3. Elección de un segundo vector unitario
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Entonces es evidente que {u1, u2} es un conjunto ortonormal.
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Aplicaciones de los espacios vectoriales en la vida real
Ahora si resolviendo la interrogante hemos oído hablar de que los juegos de la computadora, las nuevas películas animadas, etc. Todas estas cosas están hechas con gráficos vectoriales, pero no sólo en la animación ni en estos casos están presentes los vectores, estos también rigen el transporte aéreo, el desplazamiento de los barcos, y en general la física, Por ejemplo acá pongo 8 aplicaciones diríamos diarias sobre los vectores en la cual podría servir a gran parte dela gente, pero eso si aplicada sobre una base personal:
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