Bases ortonormales y proceso de ortonormalizacion de Gram- Schmidt

BASES ORTONORMALES Y PROCESO DE ORTONORMALIZACION DE GRAM- SCHMIDT

Una base ortonormal es un espacio vectorial con producto interno (producto escalar) en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria.

Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por un escalar apropiado y una base ortonormal se transforma: por medio de una base ortogonal.

Así, una base ortonormal es una base ortogonal, en la cual la norma (longitud o magnitud del vector) de cada elemento que la compone es unitaria.

Las bases ortonormales están formadas por vectores ortogonales y unitarios.

La base de la figura es la base canónica del espacio R3 formada por 3 vectores unitarios y ortogonales, (1,0,0) (0,1,0) y (0,0,1,).

Estos vectores numéricos se identifican con los vectores libres i, j, k respectivamente, forman la base canónica de V 3.

Los vectores que forman una base ortonormal son perpendiculares entre sí, y además tienen de módulo la unidad.

Definición. Longitud, norma o módulo de un vector.

Se llama longitud, norma o módulo de un vector , y se representa por ó a la raíz cuadrada positivo del producto escalar , es decir,

NOTA: Si , se dice entonces que el vector es unitario.

Propiedades de la norma.

1.

2.

3. .

4. , es un vector unitario en la dirección de

5. Desigualdad de Schwarz,

6. Desigualdades triangulares,

(a)

(b)

Definición. Angulo que forman dos vectores.

Sean el producto escalar usual, es decir,

El ángulo que forman dos vectores y se define por medio de la expresión:

PROCESO DE ORTONORMALIZACION

Si tenemos una base en , podemos pasar a partir de ella a una base que es ortonormal

El proceso que se sigue es el siguiente: Comenzamos con un vector de la base , dividimos por su norma y ya lo tenemos de norma .

Consideramos ahora otro vector de la base, , y tomamos uno ortogonal a . Por definición es tal que . Así que podemos tomar como nuevo vector y resulta ser ortogonal a .

Lo normalizamos y ya tiene norma uno

A continuación tomamos

Continuamos este proceso hasta

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