BASE ORTONORMAL, PROCESO DE ORTONORMALIZACION DE GRAM-SCHMIDT

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INSTITUTO TECNOLOGICO DE AGUA PRIETA.

EZEQUIEL FERNANDEZ CORONADO

MATERIA:ALGEBRA LINEAL.

PROFESORA:REYES GUADALUPE ENCINAS MONTOYA.

TEMA:BASE ORTONORMAL, PROCESO DE ORTONORMALIZACION DE GRAM-SCHMIDT.

INGENERIA EN GESTION EMPRESARIAL.

22 DE MAYO DEL 2017.

INTODUCCION

Las bases ortonormales y la ortonormalizacion juegan un papel importante en él álgebra lineal. Una base ortonormal de un espacio vectorial V no tiene sentido si el espacio no posee un producto interno.

Hoy en la actualidad él álgebra lineal y sus grandes funcionamientos puede ser clave y llegar a desarrollar grandes proyectos matemáticos que ayudan al hombre cada día a una más exacta y elaborada vida, en el área de vectores que nos pude indicar cómo es que un dibujo industrial o un dibujo arquitectónico puede definir las obras más importantes de la vida gracias a la ortonormalizacion y a ortonormales en el área de vectores definen más que una ecuación. Ayudan a la proyección en un plano cartesiano e ilustran su forma, la proyección de planos de edificios hoy en la actualidad es de suma importancia.

Un Espacio de Banach no tendrá una base ortonormal a no ser que sea un espacio de Hilbert.

Una base ortonormal por lo general no es una base, es decir, en general no es posible escribir a cada elemento del espacio como una combinación lineal de un número finito de elementos de la base ortonormal. En el caso de dimensión infinita, esta distinción cobra el generado de una base ortonormal sea densa en el espacio vectorial, y no que iguale al espacio entero.

Un vector siempre nos hablará de una recta pero un pero algo que tenga original nos habla de dos vectores que se relacionan para formar ya sea una ortagonal u ortonormal.

Es necesario tener en cuenta que una base ortonormal se forma si los vectores que las forman son perpendiculares entre si y tienen un módulo 1.

DESARROLLO

El espacio vectorial complejo V se conoce como un espacio con producto interior si para cualquier par de vectores u y v en V, existe un único numero complejo (u,v), llamado el producto interior de u y v, tal que si u, v y w están en V y si α∈c.

1. (v,v)≥0
2. (v,v)=0
3. (u, v+w)=(u,v)+(u,w)
4. (u+v,w)=(u,w)+(v,w)
5. (u,v)=(v,u)
6. (αu,v)=α(u,v)
7. (u,αv)=α(u,v)

Sea V un espacio con producto interior y supongamos que u y v están en V.

ENTONCES:

1. u y v son ortogonales si (u,v)=0
2. La norma de u denota por u, esta dada por: u=√(u,u)

Es el conjunto de vectores [v1, v2, …vn] es un conjunto ortonormal en V.

Cualquier conjunto ortogonal finito de vectores no nulos en un espacio con un producto interior es linealmente independiente.

Cualquier conjunto finito y linealmente independiente en un espacio con un producto interior puede transformarse en un conjunto ortonormal por medio del proceso de Gram-        Schmidt. En particular, cualquier espacio con producto interior de dimensión finita tiene una base ortonomal.

Decimos que B= [u,v] es una base ortogonal si los vectores que la forman son perpendiculares entre si. Es decir, u y v forman un angulo de 90°.

Ejemplo:

u= (3,0), v= (0,-2) forman una base ortogonal ya que el producto escalar entre ellos es cero y esta es una condición suficiente para ser perpendiculares.

u⋅v=3⋅0+0⋅(-2)=0

Decimos que B= [u,v] es una base ortonormal si los vectores que la forman son perpendiculares entre si y tienen modulo 1. Es decir u y v forman un angulo de 90° y u =1, v=1.

Una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria. Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por un escalar apropiado y de hecho, esta es la forma habitual en la que se obtiene una base ortonormal: por medio de una base ortogonal.

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