CRECIMIENTO POBLACIONAL DE KENYA

MODELADO Y SIMULACIÓN CASO 3:

CRECIMIENTO DE LA POBLACION DE KENYA

JOHN ALEXANDER MITROVITCH BENAVIDES

UNIVERSIDAD CENTRAL

MODELAMIENTO Y SIMULACIÓN

El CRECIMIENTO DE LA POBLACIÓN MUNDIAL

INTRODUCCIÓN

El nombre oficial es República de Kenia o República de Kenya es un país perteneciente al continente africano. Tal como observamos en el mapa, Kenya se encuentra en la zona este del continente y tiene fronteras al norte con Etiopía, al este con Somalia, al sur con Tanzania, al oeste con Uganda y al noroeste con Sudán.

Figura 1. República de Kenya

En años recientes la población de Kenya ha crecido rápidamente como podemos ver en la tabla 1. Formular un modelo razonable que pueda ser utilizado para predecir la población en tiempos futuros.

AÑO POBLACIÓN

(millones)

1950 6.265

1955 7.189

1960 8.332

1965 9.749

1970 11.498

1975 13.741

1980 16.632

1985 20.353

1990 25.130

Tabla 1. Población de Kenya

Tarea 1. Definición del problema

El problema consiste en describir el comportamiento del crecimiento de la población de Kenya a partir del análisis numérico del conjunto de datos de la tabla 1.

Los datos se registran cada cinco años desde el año 1950 hasta 1990. Estos no se pueden modelar de la misma manera a como se desarrolló en el Caso 1 – crecimiento poblacional Maltusiano, ya que este describe el crecimiento de una población que posee una tasa de nacimientos constante además de geométrica por lo que hace imposible que se ajuste al problema del crecimiento poblacional de Kenya porque en el transcurso de 40 años la poblaciones de cuadruplico y se intensifica a media que la población crece.

Para resolver este problema debemos obtener una expresión matemática que nos permita conocer el número de individuos de la población de Kenya en tiempos futuros.

Tarea 2. Teorías que gobiernan el problema

Las teorías que se relacionan con el problema y nos permiten formular el modelo matemático son:

Las derivadas numéricas

La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma (Wikipedia, 2013).

Formulación mediante diferencias finitas

Por definición la derivada de una función f(x) es:

f^' (x)=lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗

Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h>0) serán:

Diferencias hacia Adelante:

f^' (x_0 )≈(f(x_0+h)-f(x_0))/h

Diferencias hacia atrás:

f^' (x_0 )≈(f(x_0 )-f(x_0-h))/h

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

Las ecuaciones diferenciales de primer orden lineales tienen la forma general (Wikipedia, 2013):

dy/dx+αy(x)=f(x)

Y tiene como solución:

y(x)=e^(-α(x-x_(0)) ) (y_0+∫_(x_0)^x▒〖f(ε)e^(α(ε-x_(0)) ) dε)〗

En el caso particular f(x)=b=cte. Y x_0=0, la solución es:

y(x)=y_0 e^(-αx)+b/α(1-e^(-αx))

Interpolación de datos

En el subcampo matemático del análisis numérico, se denomina interpolación a la obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos.

En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una función que los ajuste.

Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función más simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la función obtenida que si evaluamos la función original, si bien dependiendo de las características del problema y del método de interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido (Wikipedia, 2013).

Extrapolación de datos

En matemáticas, extrapolación es el proceso de estimar más allá del intervalo de observación original, el valor de la variable en base a su relación con otra variable. Es similar a la interpolación, la cual produce estimados entre las observaciones conocidas, a diferencia de esta la extrapolación es sujeta a una mayor incertidumbre y a un mayor riesgo de producir resultados insignificantes. Extrapolación también puede significar extensión de un método, asumiendo que se pueden aplicar métodos similares (Wikipedia, 2013).

Tarea 3. Formulación del modelo

Las variables de interés son: el tiempo que denominaremos y el número de individuos de la población mundial que denominaremos P.

Si observamos cuidadosamente la tabla 1, vemos que la población de 1950 de 6,265 millones, se duplica en algún punto entre 1970 y 1975 (tomando entre 20 y 25), y luego se duplica de nueva cuenta por 1990 (tomando entre 15 y 20 años). Así, el tiempo en que se duplica la población no es contante, pero es decreciente. Este crecimiento de población no puede satisfacer, por consiguiente, el tipo de ecuación diferencial que utilizamos en el Caso 1, denotado por P, a saber, dP/dt=rP, porque esta da como resultado una duplicación constante.

Al modelar el crecimiento de

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