CUANTILES

CUANTILES

Constituyen una generalización del concepto de mediana. Así como la mediana divide a la serie estudiada en dos partes con el mismo número de elementos cada una, si la división se hace en cuatro partes, o en diez partes, o en cien partes, llegamos al concepto de cuantil.

Hay, principalmente, tres cuantiles importantes: cuartiles, deciles y percentiles.

CUARTILES

Son tres valores con las siguientes características:

Q1: Primer cuartil, que es el valor de la variable por debajo del cual queda 1/4 de los elementos de la serie estudiada.

Q3: Tercer cuartil, que es el valor de la variable por debajo del cual quedan los 3/4 de los elementos que constituyen la serie.

Evidentemente el segundo cuartil coincide con la mediana. Como puede comprobarse, no tendría ninguna utilidad definir el cuarto cuartil. El cálculo de los cuartiles se realiza por el mismo procedimiento que el cálculo de la mediana, pues hay únicamente una diferencia cuantitativa entre ambas medidas, pero tienen significados paralelos.

Así, el primer cuartil se hallará aplicando la siguiente fórmula:

[pic]

y el tercer cuartil:

[pic]

donde:

l: límite inferior de la clase a la que pertenece el cuartil, que es la clase que deja por debajo de ella el 25% de las observaciones (o el 75% en el caso de Q3)

I: amplitud del intervalo.

f: frecuencia de la clase cuartílica.

N: total de elementos de la muestra.

fi: frecuencia acumulada de todos los valores inferiores a la clase que contiene el cuartil.

DECILES

Es la segunda clase de cuantiles. Si se divide toda la serie en diez partes iguales tendremos los deciles.

D1, el decil 1, deja el 10% de los valores de la serie por debajo de él.

Análogamente ocurre con los deciles D2, D3,.......D9. El decil 8, por ejemplo, deja el 80% de la masa de datos investigada por debajo de él.

Las fórmulas para calcularlos son también análogas a las de la mediana.

Por ejemplo:

[pic]

[pic]

PERCENTILES

Hay 99 percentiles que se denotan: P1, P2, P3,.......,P98, P99. Así P90, por ejemplo, deja por debajo de él el 90% de los elementos.

La fórmula para realizar el cálculo del percentil 45, por ejemplo sería:

[pic]

Ejercicio: De la siguiente serie hallar el primero y el tercer cuartil, el segundo y el séptimo decil y los percentiles 8 y 73.

Resp: Q1 = 34,82; Q3 = 47,36; D2 = 32,85; D7 = 45,83; P8 = 26,94; P73 = 46,75.

Obsérvese que entre los 6 cuantiles calculados, aparecen valores muy parecidos. En particular se dan las siguientes coincidencias:

➢ El segundo cuartil equivale a la mediana

➢ El quinto decil y el quincuagésimo percentil se corresponden también con la mediana.

➢ Los percentiles P25 y P75 se corresponden con el primer y tercer cuartil, respectivamente.

Son similares a la mediana en que también subdividen una distribución de mediciones de acuerdo con la proporción de frecuencias observadas. Mientas que la mediana divide a una distribución en mitades, los cuartiles (Q) la dividen en cuartos, los deciles (D) la dividen en décimos y los puntos percentiles (P) la dividen en centésimos.

Colectivamente, cuartiles, deciles y percentiles se denominan cuantiles. Puesto que sirven para ubicar datos particulares dentro de ciertas porciones de una distribución de datos, toman el nombre de medidas de posición.

Cuartiles

Son cada uno de los 3 valores Q1, Q2, Q3 que dividen a la distribución de los datos en 4 partes iguales.

1.1) Propiedades

Los cuartiles son un caso particular de los percentiles. Hay 3 cuartiles:

Primer cuartil: Q1=P25, segundo cuartil: Q2=D5 =P50=Mediana, tercer cuartil: Q3=P75

1.2) Métodos de Cálculo

a) Para Datos No Agrupados

La posición o ubicación de los cuartiles se encuentra aplicando la siguiente ecuación:

Qk=Xn•k4+12=Xn•k+24

Donde:

n = número total de datos

k = número del cuartil

Ejemplo ilustrativo:

Encuentre los cuartiles dada la siguiente distribución, y represéntelos gráficamente mediante un diagrama de caja y bigotes: 6, 9, 9, 12, 12, 12, 15 y 17

Solución:

Para calcular los cuartiles se ordena los datos de menor a mayor

Aplicando la ecuación para el cuartil uno se obtiene:

Qk=Xn•k+24

Q1=Xn+24=X8+24=X104=X2,5

Como la posición del cuartil 1 es 2,5, su valor es el promedio de los datos segundo y tercero

Q1=X2,5=x2+x32=9+92=9

O también la posición 2,5 dice que el cuartil 1 está ubicado al 50% del trayecto comprendido entre el segundo dato, que es 9 y el tercer dato que es 9, es decir, Q1= 9+0,5(9-9) = 9

Interpretación: Este resultado indica que el 25% de los datos es inferior a 9

En Excel se calcula de la siguiente manera:

a) Se inserta la función CUARTIL.INC y se pulsa en Aceptar. En Matriz, seleccionar las celdas (rango A1:A8). En Cuartil, escribir 1

b) Pulsar en Aceptar.

Aplicando la ecuación para el cuartil dos se obtiene:

Qk=Xn•k+24

Q2=Xn•2+24=X2n+24=X2•8+24=X16+24=X4,5=x4+x52=12+122=12

O también la posición 4,5 dice que el cuartil 2 está ubicado al 50% del trayecto comprendido entre el cuarto dato, que es 12 y el quinto dato que también es 12, es decir,

Q2= 12+0,5(12-12) = 12

Interpretación: Este resultado indica que el 50% de los datos es inferior a 12

En Excel se calcula de la siguiente manera:

Repetir los pasos para el cuartil 1, y en la opción de cuartil escribir 2

Aplicando la ecuación para el cuartil tres se obtiene:

Qk=Xn•k+24

Q3=X3n+24=X3•8+24=X24+24=x264=X6,5=x6+x72=12+152=13,5

O también la posición 6,5 dice que el cuartil 2 está ubicado al 50% del trayecto comprendido entre el doceavo dato, que es 12 y el quinceavo dato que 15, es decir, Q3= 12+0,5(15-12)

Q3= 12+0,5(3)=12+1,5=13,5

Interpretación: Este resultado indica que el 75% de los datos es inferior a 13,5

En Excel se calcula de la siguiente manera:

Repetir los pasos para el cuartil 1, y en la opción de cuartil escribir 3. Pulsar en Aceptar.

Nota: Para elaborar un diagrama de caja y bigotes es necesario saber:

Un diagrama de caja y bigotes es una representación gráfica que ayuda a visualizar una distribución de datos: caja desde Q1 a Q3 (50% de los datos),

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