Calculo Vectorial Unidad 1

Tema y Subtemas

1 Algebra de vectores.

1.1 Definición de un vector en R2, R3 y su Interpretación geométrica.

1.2 Introducción a los campos escalares y vectoriales.

1.3 La geometría de las operaciones vectoriales.

1.4 Operaciones con vectores y sus propiedades.

1.5 Descomposición vectorial en 3 dimensiones.

1.6 Ecuaciones de rectas y planos.

1.7 Aplicaciones físicas y geométricas.

1.1 Definición de un vector en R2, R3 y su Interpretación geométrica.

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio.

Definición: la dirección de un vector u=(a,b) es el ángulo medio en radianes que forma el vector con el eje positivo de las x.

El ángulo se puede medir haciendo tanθ=b/a; pero es importante localizar el vector puesto que θ=tan-1b/a da valores entre -π/2 y π /2 mientras que el ángulo buscado estará entre 0 y 2 π

Ejemplo 1: encontrar la dirección del vector (-√3,1) tanθ=-1/√3=- π /6; sin embargo el vector esta en segundo cuadrante; por lo tanto el Angulo θ será de π - π /6=5 π /6.

REPRESENTACIÓN GEOMETRICA DE LA SUMA Y LA RESTA DE VECTORES.

Para vectores posición la suma u+v es el vector representado por la diagonal principal del paralelogramo cuyos lados están conformados por los vectores u y v. La resta u-v o v-u es el vector representado por la otra diagonal (al hacer v-u el punto final del vector es v y el inicial es u, por eso la flecha, si fuera u-v el punto final sería el de u y el vector tendría la dirección opuesta).

1.2 Introducción a los campos escalares y vectoriales.

CAMPO VECTORIAL

Es una asignación de un vector a cada punto en un subconjunto del espacio euclidiano. Un campo de vectores en el plano, por ejemplo, se puede visualizar como una flecha, con una magnitud dada y la dirección, que se adjunta a cada punto del plano. Los campos vectoriales se utilizan a menudo para modelar, por ejemplo, la velocidad y la dirección de un fluido en movimiento a través del espacio, o la fuerza y la dirección de algunas fuerzas, como la magnética o gravitatoria, la fuerza a medida que cambia de punto a punto.

Un campo vectorial en un dominio en el n -espacio de dimensión euclidiana se puede representar como un vector de función con valores que asocia una n -tupla de números reales a cada punto del dominio. Esta representación de un campo vectorial depende del sistema de coordenadas, y hay una bien definida la ley de transformación al pasar de un sistema de coordenadas a otro. Los campos vectoriales se discuten a menudo sobre subconjuntos abiertos del espacio euclidiano, sino también tener sentido en otros subconjuntos tales como superficies, donde se asocian una flecha tangente a la superficie en cada punto (un vector de la tangente). De manera más general, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables, que son espacios que se ven como el espacio euclidiano en escalas pequeñas, pero pueden tener una estructura más compleja a escalas mayores.

CAMPOS ESCALARES

Se visualiza mediante las superficies de nivel o isoescalares, que son el lugar geométrico de los puntos del espacio para los cueles la función escalar toma el mismo valor, por ejemplo: T(x, y, z)=cte

Cuando estas superficies se cortan por un plano se convierten en las llamadas curvas de nivel o isoescalares, que según la magnitud física que representan reciben un nombre particular: las isotermas se definen por: T(x, y)=cte las isobaras se definen por: P(x, y)=cte.

Los campos vectoriales representan magnitudes de carácter vectorial: A (x, y, z, t).Entre éstos cabe citar el campo de velocidades en un fluido: v (x, y , z, t)., el campo eléctrico, el gravitatorio, el magnéti

1.3 La geometría de las operaciones vectoriales.

Cálculo vectorial es una rama de las matemáticas relacionadas con la diferenciación y la integración de campos vectoriales, sobre todo en tres dimensiones del espacio euclidiano el término “cálculo vectorial” a veces se utiliza como sinónimo para el tema más amplio de cálculo multivariable, que incluye el cálculo de vectores, así como la diferenciación parcial y la integración múltiple

OBJETOS BÁSICOS

Los objetos básicos en cálculo vectorial son campos escalares (las funciones con valores escalares) y campos de vectores (vector con valores de funciones). Estos se combinan o se transforman en diversas operaciones, e integrada. En los tratamientos más avanzados, una más distingue pseudovector campos y pseudoescalar campos, que son idénticos a los campos vectoriales y campos escalares, salvo que cambie de signo en virtud de un inversor de mapa de orientación: por ejemplo, la curvatura de un campo vectorial es un campo pseudovector, y si se reflexiona un campo vectorial, los puntos de curvatura en la dirección opuesta. Esta distinción se aclara y elaborado en el álgebra geométrica, como se describe a continuación.

OPERACIONES ALGEBRAICAS

Las algebraicas básicas (no diferencial) en las operaciones de cálculo vectorial se conocen como álgebra vectorial, se define un espacio vectorial y luego a nivel mundial se aplica a un campo de vectores, y consisten en:

-Multiplicación escalar: multiplicación de un campo escalar y un campo de vectores, produciendo un campo vectorial: av.;

Además de dos campos vectoriales, produciendo un campo vectorial: v1+v2.;

-producto de punto: multiplicación de dos campos vectoriales, producioendo un campo escalar: v1*v2;

-producto vectorial: multiplicación de dos campos vectoriales, produciendo un campo vectorial: v1xv2.

1.4 Operaciones con vectores y sus propiedades.

OPERACIONES BÁSICAS CON VECTORES.

Suma y resta de vectores

La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma: Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo.

Por tanto, el vector suma

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