Casos De Factorizacion

FACTOR COMÚN

1: (Hay factor común entre los números)

8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)

El factor común es el número 4: El Máximo Común Divisor entre los números.

2: (Hay factor común entre las letras)

7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4 - x8 = x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 - x6)

El factor común es x2.: La x elevada a la menor potencia con que aparece.

3: (Hay factor común entre los números y entre las letras)

9x3 - 6x2 + 12x5 - 18x7 = 3x2. (3x - 2 + 4x3 - 6x5)

El factor común es 3x2: El MCD entre los números y la x elevada a la menor potencia.

4: (Con fracciones)

4/3 x - 8/9 x3 + 16/15 x7 - 2/3 x5 = 2/3 x. (2 - 4/3 x2 + 8/5 x6 - x4)

El factor común es 2/3 x: El MCD del numerador sobre el MCD del denominador, y la x a la menor potencia.

5: (Con varias letras diferentes)

9x2ab - 3xa2b3 + x2az = xa. (9xb - 3ab2 + xz)

El factor común es xa. Las 2 letras que están en todos los términos, con la menor potencia con la que aparecen.

6: (Con números grandes)

36x4 - 48x6 - 72x3 + 60x5 = 12x3. (3x - 16x3 - 6 + 5x2)

Entre números grandes es más difícil hallar el MCD.

7: (Sacar factor común negativo)

8a - 4b + 16c + 12d = - 4. (- 2a + b - 4c - 3d)

Saco factor común "-4". Todos los términos quedan con el signo contrario al que traían.

8: (El Factor común es una expresión de más de un término)

(x + 1).3 - 5x. (x + 1) + (x + 1).x2 = (x + 1). (3 - 5x + x2)

(x + 1) está multiplicando en todos los términos. Es factor común.

9: ("Sacar un número que no es divisor de todos los términos")

3a + 2b - 5c + 9d = 7. (3/7 a + 2/7 b - 5/7 c + 9/7 d)

Divido todos los términos por 7, y quedan números fraccionarios. Esto lo puedo hacer con cualquier número.

10: (Normalizar un polinomio)

5x4 - 2x3 - 3x + 4 = 5. (x4 - 2/5 x3 - 3/5 x + 4/5)

Normalizar es "quitarle" el número (coeficiente) al término de mayor grado. Por eso divido todo por 5.

FACTOR COMÚN EN GRUPOS

1: (Todos los términos son positivos)

4a + 4b + xa + xb =

4.(a + b) + x.(a + b) =

(a + b).(4 + x)

Saco factor común "4" en el primer y segundo término; y factor común "x" en el tercer y cuarto término. Los dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a (a + b).

2: ("Resultado desordenado")

4a + 4b + xb + xa =

4.(a + b) + x.(b + a) =

4.(a + b) + x.(a + b) =

(a + b).(4 + x)

En el primer paso el "resultado" quedó "desordenado": (b + a). Pero puedo cambiar el orden de los términos, ya que (b + a) es igual que (a + b)

3: (Con términos negativos)

4a - 4b + xa - xb =

4.(a - b) + x.(a - b) =

(a - b).(4 + x)

Si los "resultados" quedan iguales no hay problema.

4: (Con términos negativos y "Resultado desordenado")

4a - 4b - xb + xa =

4.(a - b) + x.(-b + a) =

4.(a - b) + x.(a - b) =

(a - b).(4 + x)

En el primer paso quedó desordenado, pero luego puedo cambiar el orden de los términos, ya que (- b + a) es igual que (a - b)

5: (Resultados "opuestos")

4a - 4b - xa + xb =

4.(a - b) + x.(-a + b) =

4.(a - b) - x.(a - b) =

(a - b).(4 - x)

En el primer paso quedaron los signos opuestos para los dos términos. Pero en el segundo paso, "saco el menos afuera y hago un cambio de signos" (lo que en realidad es Sacar Factor Común negativo)

6: (Resultados "opuestos" y "desordenados")

4a - 4b + xb - xa =

4.(a - b) + x.(b - a) =

4.(a - b) - x.(-b + a) =

4.(a - b) - x.(a - b) =

(a - b).(4 - x)

Luego de agrupar, los resultados quedan desordenados, y con el signo opuesto cada término. En el segundo paso, "saco el menos afuera y hago un cambio de signos" (como en el Ejemplo 5); y en el tercer paso cambio el orden de los términos, ya que (- b + a) es igual que (a - b)

7: (Todos los términos son negativos)

-4a - 4b - xa - xb =

-4.(a + b) - x.(a + b) =

(a + b).(-4 - x)

En estos casos es casi mejor sacar directamente Factor Común negativo (¿Cómo sacar Factor Común negativo?) Y sino también, en la "EXPLICACIÓN", también muestro cómo se haría sacando Factor Común positivo.

8: (Agrupando términos no consecutivos)

4x2a + 3y + 12ax + yx =

4ax.(x + 3) + y.(3 + x) =

4ax.(x + 3) + y.(x + 3) =

(x + 3).(4ax + y)

No siempre podemos agrupar en el orden en que viene el ejercicio. Tiene que haber Factor Común entre los que agrupamos, y el "resultado" debe dar igual (o desordenado u opuesto, como se ve en los ejemplo anteriores).

En este caso tuve que agrupar primero con tercero y segundo con cuarto.

9: (Polinomio de 6 términos)

4a - 7x2a + ya + 4z - 7x2z + yz =

a.(4 - 7x2 + y) + z.(4 - 7x2 + y) =

(4 - 7x2 + y).(a + z)

Aquí hay 6 términos, y dos maneras posibles de agrupar: 2 grupos de 3 términos, o 3 grupos de 2 términos. En este caso agrupé de a 3 términos. (Para verlo también de la otra forma, consultar en la EXPLICACIÓN)

10: (Cuando parece que no se puede aplicar el caso, pero se puede)

4x3 - 4x2 + x - 1 =

4x2.(x - 1) + x - 1 =

4x2.(x - 1) + 1.(x - 1) =

(x - 1).(4x2 + 1)

Parece que no se pudiera aplicar el caso, porque entre la x y el 1 que quedaron no hay Factor Común. Sin embargo el caso se puede aplicar, sólo se trata de saber reconocer la situación. En el paso 2 es donde se vislumbra la posibilidad de usar el caso, por el resultado que dió la primera agrupación: (x - 1), que es igual a lo que quedó sin agrupar.

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

1: (Términos positivos)

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

x 3

2.3.x

6x

Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo. Son: x2 y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego

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