Codigos Ciclicos

Los códigos cíclicos son una subclase de los códigos de bloque lineales.

código.

Al igual que en los códigos de bloque lineales sistem´ticos y en los códigos de Hamming, denotaremos un código cíclico mediante un par (n,k), donde n es la longitud de las palabras de código y k es la longitud de una palabra original.

Para el manejo de estos códigos se utiliza una notación polinómica, de forma que una palabra de código C = (c0,......,cn-1) la interpretaremos como un polinomio, y cada uno de los bits de la palabra de código será uno de los coeficientes de este polinomio:

C(x) = c0 + c1x + . . . + cn-1xn-1

A se vez, una palabra original m = (m0,......, mk-1) la interpretaremos como el polinomio:

m(x) = m0 + m1x + . . . + mk-1xk-1

Para generar C(x) a partir de m(x) se usa el polinomio generador g(x) que es un factor de xn+1. Su grado es n-k. La obtención de la palabra codificada se hace de la siguiente forma:

C(x) = m(x) • g(x)

Así tenemos que un código cíclico queda perfectamente determinado por su polinomio generador.

Tal y como hemos planteado estos códigos hasta el momento, los códigos cíclicos no son sistemáticos.

Para realizar el control de errores se utiliza el polinomio de chequeo de paridad, que es un polinomio de grado k tal que:

g(x) • H(x) = xn + 1

Notación Polinimial

Para representar los vectores pertenecientes a los códigos cíclicos usaremos la notación polinomial. Cada una de las componentes de un vector código v =(v0, v1, ... , vn-1) serán los coeficientes del polinomio: v(x)=v0+ v1x+v2x2+ ... + vn-1xn-1. A este polinomio se le denomina polinomio código. Por lo tanto a todo vector v le corresponde un polinomio código v(x) de grado (n-1) o menor. v(i) , en representación polinomial, sería v(i)(x) =(vn-i, vn-i+1x, ... , vn-1xi-1, v0xi, v1xi+1, ... , vn-i-1xn-1).

Si multiplicamos xiv(x)=v0xi+ v1xi+1+ ... + vn-1xn+i-1. Este producto lo podemos expresar como: xiv(x)=vn-i+vn-i+1x+ ... + vn-ixi-1+ ... +vn-i-1xn-1+ vn-i(xn+1)+vn-1+1x(xn+1)+ ... + vn-i1xi-1(xn+1)= xiv(x)=(vn-i+vn-i1+1x+ ... + vn-1xi-1)(xn+1) + (vn-i +vn-i+1x+ ... +v0xi+ ... + vnxn-1).

xiv(x)=q(x)(xn+1)+v(i)(x)

De aquí se observa que v(i)(x) es el resto de dividir xiv(x) entre (xn+1).

Polinomio de Grado Mínimo

Teorema:

El polinomio código distinto de 0 de grado mínimo en C(n,k) cíclico es único.

Teoremas

Teorema:

Sea g(x)=g0+g1x+g2x2+ ... + gr-1xr-1+xr el polinomio de grado mínimo => g0=1.

Hemos visto que el polinomio de grado mínimo siempre tendrá la forma: g(x)=1+g1x+g2x2+ ... + gr-1xr-1+xr. Consideremos ahora el conjunto de polinomios g(x), x(g)x, x2g(x), ..., xn-r-1g(x) de grado r, r+1, r+2, ..., n-1 respectivamente. Vamos a demostrar que ese conjunto pertenece

...