Conjunto Finito

CLASES DE CONJUNTOS

Conjunto Finito:

Cuando los miembros o elementos del conjunto se pueden contar o enumerar.

Por ejemplo el conjunto de las letras del alfabeto es un conjunto finito que expresado por comprensión es:

A = {x/x son las letras del alfabeto castellano}

Conjunto Infinito:

Cuando los elementos o miembros no se pueden enumerar o contar, se considera como conjunto infinito.

Un ejemplo de conjunto infinito son las estrellas del cielo. Los conjuntos infinitos siempre deberán determinarse por comprensión; para el ejemplo:

B = {x/x son las estrellas del universo}

Conjunto Unitario:

Es el conjunto que tiene un solo miembro o elemento. Un ejemplo:

C = {luna}

Conjunto Vacío:

Se trata del conjunto que no tiene elementos, o que estos son inexistentes, ejemplos:

D = {x/x son perros con alas}

E = { }

Se considera el conjunto vacío como subconjunto de cualquier conjunto.

Conjunto Universal o Referencial:

Se llama así al conjunto conformado por los miembros o elementos de todos los elementos que hacen parte de la caracterización.

Por ejemplo, dados:

A = {1, 3, 5, 7} B = {2, 3, 4} C = { 6, 7, 8, 9}

El conjunto universal o referencial es:

U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Conjuntos disyuntos o disjuntos

Son aquellos conjuntos que no tienen ningún miembro o elemento en común. Otra forma de expresarlos es decir que la intersección de dos o más conjuntos disyuntos o disjuntos es el conjunto vacío

Por ejemplo los conjuntos B y C mencionados como ejemplos del conjunto universal son conjuntos disyuntos pues no tienen ningún miembro en común

Conjuntos equivalentes

Corresponde a los conjuntos con el mismo número cardinal, es decir cuando tienen la misma cantidad de elementos. Por ejemplo:

A = {a, b, c, d}

B = {1, a, I, alpha}

Por lo tanto A y B son conjuntos equivalentes

Conjuntos iguales

Cuando los conjuntos contienen los mismos elementos, estos conjuntos son iguales:

A = { 2, 4, 6, 8, 10}

B = { 4, 10, 2, 8, 6}

A y B son iguales porque contienen los mismos elementos. Es bueno anotar que en un conjunto no importa el orden en que se ubiquen, por eso el conjunto B es igual que el A

Conjuntos homogéneos

Cuando sus miembros o elementos que lo componen, pertenecen al mismo tipo o género. Por ejemplo un conjunto compuesto por letras únicamente, o por números, etc.

A = { a, l, m, p, r }

El conjunto es homogéneo pues todos sus miembros son letras.

Conjuntos heterogeneos

Son aquellos conjuntos compuestos por miembros de difefentes tipos, clases, géneros, etc.

B = { 1, a, prado, rojo}

Conjuntos congruentes

Dos conjuntos numéricos son congruentes cuando sus respectivos miembros se pueden poner en correspondencia uno a uno, de manera que la distancia entre ellos se mantenga:

A = {2, 4, 6, 8, 10}

B = {7, 9, 11, 13, 15}

Así:

2 y 7; 4 y 9; 6 y 11; 8 y 13; 10 y 15 tienen todos ellos como distancia entre ellos 5

Conjuntos no congruentes

Cuando entre dos conjuntos no se puede dar una correspondencia entre los miembros de los conjuntos, de manera que la distancia entre ellos no sea constante, los conjuntos se consideran no congruentes. Ejemplo:

A = {2, 4, 6, 8, 10 }

C = {5, 6, 7, 8, 9}

REPRESENTACION DE CONJUNTOS

Representación de un conjunto

Diagrama de Venn y entre llaves.

Es habitual representar los conjuntos en forma gráfica mediante los Diagramas de Venn.

En estos diagramas el conjunto se representa mediante una superficie limitada por una línea. En su interior se colocan los elementos del conjunto. Cada porción del plano limitada se nombra con una letra mayúscula.

El conjunto A está formado por los elementos 1, 2, 3.

El conjunto B está formado por los elementos a, b, c, d.

Existe, además, otra forma de representarlos que es entre llaves.

En estos ejemplos se escribe:

A = {1, 2, 3}

B = {a, b, c, d}

Otro ejemplo:

Por diagrama Entre llaves

S = {a, e, i, o, u}

Se escribe una coma para separar los elementos.

SUBCONJUNTOS

En las matemáticas, un conjunto A es subconjunto de un conjunto B si A «está contenido» dentro de B. Recíprocamente, se dice que el conjunto B es un superconjunto de A cuando A es un subconjunto de B.

Definicion

La diferencia entre los conjuntos es enformando por los elementos que pertenecen a uno y al los otros no.

Otras maneras de decirlo son «A está incluido en B», «B incluye a A», etc.

Ejemplos.

El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto del «conjunto de todas las personas».

{1, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4}

{2, 4, 6, ...} ⊆ {1, 2, 3, ..} = N ( {Números pares} ⊆ {Números naturales} )

SUBCONJUNTOS

Cuando definimos un conjunto, si tomamos partes de él tenemos algo que se llama un subconjunto.

Así que por ejemplo tenemos el conjunto {1, 2, 3, 4, 5}. Un subconjunto suyo es {1, 2, 3}. Otro subconjunto es {3, 4} y otro es {1}. Sin embargo, {1, 6} no es un subconjunto, porque contiene un elemento (el 6) que no está en el conjunto grande. En general:

A es subconjunto de B si y sólo si cada elemento de A está en B.

Así que vamos a usar esta definición en algunos ejemplos.

¿Es A subconjunto de B, si A = {1, 3, 4} y B = {1, 4, 3, 2}?

1 está A, pero 1 también está en B. Por ahora bien. 2 está en B, pero no en A. Pero recuerda que eso no importa, sólo hay que mirar los elementos de A. 3 está en A y también en B. Falta uno más. 4 está A, y en B. Esos son todos los elementos de A, y están todos en B, así que ya está.

Vamos a intentar un ejemplo más difícil.

Sean A todos los múltiplos de 4 y B todos los múltiplos de 2. ¿Es A un subconjunto de B? ¿Es B un subconjunto de A?

Bueno, no se pueden comprobar todos los elementos de estos conjuntos, porque hay infinitos elementos. Así que tenemos que hacernos una idea de cómo son los elementos en cada uno, y comparar.

Para representar un múltiplo de 2, usamos 2n, donde n es un entero. Y hacemos lo mismo con los múltiplos de 4: son 4m, donde m es entero. Así que si tenemos un número 4m, ¿lo podemos escribir como un múltiplo de 2, con la forma 2n? ¡Claro que podemos!

Sabemos que 4 = 2*2, así que 4m = 2*2m, o mejor 2(2m). También sabemos que 2m es un entero. Así que vamos a llamar a = 2m, donde a es un entero. Entonces podemos

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