Conjuntos

CONJUNTOS

En una Teoría Intuitiva de Conjuntos, los conceptos de “conjunto” y “pertenencia” son

considerados primitivos, es decir, no se definen de un modo formal; se les acepta como

existentes de manera axiomática, aún cuando son creaciones intelectuales.

Intuitivamente, un conjunto es una colección o clase de objetos bien definidos, dotados de una

propiedad que permita decidir (sin ninguna ambigüedad posible), si un objeto cualquiera forma

parte o no de la colección.

Consideremos, por ejemplo, los siguientes conjuntos:

1.- Las vocales: a, e, i, o, u.

2.- Los números enteros pares positivos: 2, 4, 6, ....

3.- Los siete enanitos de Blancanieves.

4.- Los equipos chilenos de fútbol profesional participantes en el actual campeonato nacional.

5.- Las señoritas de nuestro curso de Matemáticas.

Los objetos que forman un conjunto se llaman elementos del conjunto, y la relación entre un

elemento y un conjunto es la de pertenencia.

Se escribe x ∈ A y se lee ”(el objeto) x pertenece a (el conjunto) A"

Habitualmente los conjuntos se designan por una letra mayúscula y los elementos del conjunto

por una letra minúscula y entre paréntesis de llave.

Los conjuntos se pueden definir por:

EXTENSIÓN cuando se describen exhaustivamente (es decir, nombrando a todos y cada uno de

sus elementos, que, en tal caso, se escribirían entre llaves)

Ejemplo: A={ Pedro, Juan, Luis, Manuel}

COMPRENSIÓN: Cuando se indican las características de los elementos del conjunto o función

proposicional p(x) que satisfagan todos los elementos x del conjunto definido y sólo ellos,

dentro de un universo contextual ó relativo U”.

Ejemplo: B = { números pares}

C = { números enteros positivos menores de 10 }

CONJUNTO FINITO: Es aquel que consta de un número determinado de elementos, dicho de otra

forma, si al efectuar el proceso de contar los elementos, este proceso puede terminar.

CONJUNTO INFINITO: Cuando el conjunto tiene un número indeterminado de elementos,

infinitamente grande.

CONJUNTO VACÍO: Es aquel conjunto que no tiene ningún elemento. Se representa por el

símbolo ∅.

H. Cornejo O.

SUBCONJUNTO: Se dice que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, o bien que A está

incluido en B si y sólo si cada elemento que pertenece a A pertenece también a B.

A está incluido en B y se anota A ⊂ B.

Expresado de otra forma: A ⊂ B = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B }

Ejemplo: si A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} entonces A ⊂ B.

Si A no es subconjunto de B se escribe A ⊄ B.

Se dice que A es SUBCONJUNTO PROPIO de B si y sólo si A es subconjunto de B pero B es

distinto de A, lo que a veces se denota por A ⊂ B, sin la barrita inferior que representa la

igualdad de conjuntos.

A ⊂ B y A ≠ B

En alguna bibliografía se acostumbra a designar un subconjunto propio como

A ⊂ B

Y un subconjunto como A ⊆ B

CONJUNTOS IGUALES: Dos conjunto A y B son iguales ( A = B) si

∀x ∈A → x ∈B ∧ ∀x ∈B → x ∈A

se verifica que A ⊆ B ∧ B ⊆ A.

Para probar que dos conjuntos son iguales, será siempre necesario probar que cada uno de

ellos está contenido en el otro (dos pruebas).

Este proceso se llama prueba por doble inclusión.

COMPARABILIDAD: Dos conjuntos A y B se dicen comparables si:

A ⊂ B o B ⊂ A

Esto es si uno de los conjuntos es subconjunto del otro.

En cambio dos conjuntos C y D no son comparables si

C ⊄ D y D ⊄ C

Nótese que si C y D no son comparables, entonces hay un elemento de C que no está en D y

hay algún elemento de D que no está en C.

CONJUNTO DE CONJUNTOS: Hay ocasiones en que los elementos de un conjunto son a su vez

también conjuntos, por ejemplo el conjunto de todos los subconjuntos de A . Para evitar decir H. Cornejo O.

conjunto de conjuntos se suele decir familia de conjuntos o clase de conjuntos, y para evitar

mayor confusión, se emplean letras de tipo inglés.

A B C D

CONJUNTO UNIVERSAL: Es aquel conjunto del que son subconjunto toda una familia de

conjuntos. Se denota con la letra U

Si U es el conjunto Universo de A, B, C, y D, entonces

∀x ∈ A→ x ∈U,

∀y ∈ B→ y ∈U,

∀z ∈ C→ z ∈U,

∀u ∈ D→ u ∈U,

CONJUNTO POTENCIA: Conjunto potencia de S se denomina a la familia de todos los

subconjuntos de S, y se denomina por 2 S.

Ejemplo: Si F = { 1, 2} entonces 2 F = { {1, 2}, {1}, {2}, ∅ }

CONJUNTOS DISJUNTOS: Son aquellos conjuntos que no tienen ningún elemento en común. Por

ejemplo: E = {1, 3, 5} y G = {2, 4, 6 } son conjuntos disjuntos.

DIAGRAMAS DE VENN EULER: Es la forma sencilla e instructiva para poder representar los

conjuntos y las relaciones que se producen entre ellos. En ellos se representan habitualmente

los conjuntos por un área plana, por lo general delimitada por un círculo.

A = { a, b, c, d, e}

B = { b, c, d} B ⊂ A

H. Cornejo O.

Operaciones con conjuntos

UNIÓN: La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen

a A o a B o a ambos., y se representa por

A ∪ B

A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B} .

Ejemplo: Sean los conjuntos y se representa

gráficamente por el diagrama de Venn

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