Conjuntos

CAPITULO I: CONJUNTOS

Introducción

El desarrollo de la Teoría de Conjuntos es algo relativamente reciente, dentro de la historia de la Matemática, a pesar de que su utilización de manera más intuitiva es de bastante data.

Su fundador fue el matemático alemán Georg Cantor nacido en 1.845 y muerto en 1.918.

Sus trabajos despertaron gran polémica entre sus contemporáneos, tanto matemáticos como filósofos. No obstante, a pesar de la controversia surgida en torno de la misma, a fines del siglo XIX las concepciones esenciales de Cantor habían sido aceptadas, formando hoy día parte de los conocimientos básicos matemáticos impartidos en todos los niveles educacionales.

2.1 Conjuntos

La noción de conjunto es intuitiva, forma parte de la experiencia, no obstante, es posible considerarlo como una colección de objetos de cualquier especie.

Ejemplos:

a) El conjunto de los números naturales.

b) El conjunto de alumnos que ingresó este año a la Universidad.

c) El conjunto de libros de la biblioteca del IPCCS.

d) El conjunto de árboles de mi jardín.

Los conjuntos se denotan con letras mayúsculas y a los elementos con minúscula, cuando corresponda. Tanto los elementos como las propiedades de los mismos se escriben entre llaves.

Ejemplos:

a) A = {3,4,5,6}.

b) B = {colores cálidos}

c) C = { -2.-1,0,1,2,3}

d) D = {los números primos menores que 20}

2.2 Relaciones en los conjuntos

Hay dos tipos de relaciones fundamentales: las que se establecen entre elemento y conjunto y las que se establecen entre conjuntos.

La única relación posible entre un elemento y un conjunto es de pertenencia o no pertenencia, cuyos símbolos son:

pertenece: 

no pertenece: 

Ejemplos:

Usando los ejemplos anteriores se verifican las siguientes relaciones:

a) 3  A

b) 7  A

c) rojo  B

d) azul  B

Por otra parte las relaciones que se establecen entre conjuntos son de inclusión o subconjunto, o la de no inclusión, cuyos símbolos son:

es subconjunto: 

no es subconjunto: 

Para que un conjunto sea subconjunto de otro debe estar completamente incluido en él, formalmente se puede definir como:

A  B  ( x  A  x  B )

Ejemplos:

a) Sea A = { Los números naturales } y B = { 1,2,3,4,5 } entonces B  A pero A  B

b) Sea D = { Pueblos indígenas de Chile} y E = { Pueblo Mapuche} entonces E  D pero D  E

2.3 Determinación de conjuntos

Los conjuntos se pueden denotar de dos formas, por extensión y por comprensión.

i) Por extensión: es cuando se enumeran , uno por uno, todos los elementos que componen el conjunto.

Ejemplos:

a) A = { a,e,i,o,u }

b) B = { rojo, azul, amarillo }

c) B = { 2,3,4,5 }

d) D = { -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2 }

ii) Por comprensión: es cuando se indican las propiedades o cualidades específicas del conjunto que permiten delimitar con precisión los elementos que lo componen.

Ejemplos:

a) A = { las vocales}

b) B = { los colores primarios}

c) C = { x  N / 2  x  5 }

d) D = { x  Z / -6 < x  2 }

2.4 Conjunto Vacío:

Es el conjunto que no tiene elementos.

Se denota a través de los siguientes símbolos: "  " , o { }, ambos símbolos son equivalentes por lo tanto se pueden usar indistintamente.

Ejemplos:

a) A = { alumnos del IP CCS que tengan un doctorado Harvard}

b) B = { vacas que vuelan}

c) C = { personas vivas contemporáneas de O' Higgins }.

2.5 Igualdad de conjuntos: dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen exactamente los mismos elementos. Formalmente la igualdad de conjuntos se define como:

A = B  A  B  B  A

Ejemplos:

a)

A = { a,b, c,c,d,e,e }

B = { b,c,a,a,d,d,e }

entonces A = B porque tienen los mismos elementos o porque A B  B A .

Observación: Si los elementos se repiten no afecta, ya que son los mismos elementos y además la ubicación de los mismos en la definición de los conjuntos tampoco afecta.

b)

C = { 1,2,3,4 }

D = { 2,1,3,5 }

entonces C  D ya que C  D  D  C

2.6 Conjuntos finitos e infinitos

i) Conjuntos finitos: un conjunto es finito cuando tiene un número finito de elementos, es decir, es posible enumerar a todos los elementos y luego contarlos hasta llegar al que ocupa el último lugar.

Otra forma de decir lo mismo es que un conjunto es finito cuando al extraer elementos del mismo es posible obtener el conjunto vacío.

Ejemplos:

a) A = {Los habitantes de Chile}

b) B = { a,e,i,o,u }

c) C = { 1,2,3,4 }

ii) Conjuntos infinitos: un conjunto es infinito cuando no es finito.

Otra forma de decir lo mismo es que un conjunto es infinito cuando al extraer elementos del mismo es imposible obtener el conjunto vacío.

Ejemplos:

a) A = {los números naturales }

b) B = { los números irracionales }

c) C = { los números reales }.

2.7 Conjunto potencia:

El conjunto potencia de un conjunto A y que se denota por P(A), se define como el conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de A.

Ejemplos:

a) Sea A = { a,b }, entonces

P(A) = { {a},{b},{a,b}, }

b) Sea B = { 1,2,3 }, entonces

P(B) = { {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},}

Observación: El conjunto vacío es subconjunto de todos los

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