Construcciones Geometricas

Índice

Pág.

Introducción………………………………………………………………..3

Construcciones Geométricas……………………………………………4

Resolubilidad de las construcciones con regla y compás……………5

Problemas clásicos……………………………………………………….8

Trisección del ángulo……………………………………………………..9

Heptágono regular, cuadratura del círculo……………………………..10

Construcciones con sólo el compás o con sólo la regla………………11

Conclusion………………………………………………………………….12

Introducción

Las construcciones geométricas han estado presentes a lo largo de la historia incluso desde el propio surgimiento de la humanidad. La podemos ver en las inmensas construcciones que ha realizado el hombre como el Partenón, en la plástica la vemos en la obra de Da Vinci "La figura humana", utilizando la proporción áurea o número de 60oro y es un tema muy polémico en la actualidad y al cual no se le ha prestado la suficiente atención que lleva el tema.

La sociedad actual exige que nosotros los docentes eduquemos a las nuevas generaciones, les brindemos conocimientos que tengan gran calidad, que formemos un joven con una cultura general, y el tema de las construcciones geométricas no se queda exenta de esta cultura.

A veces vemos como los estudiantes cuando van a realizar un problema geométrico, no realizan correctamente la construcción de la figura, y a veces no pueden realizar un análisis objetivo del problema que les permita resolver el mismo y este es uno de los elementos más afectados dentro de aquellos estudiantes que participan en los diferentes concursos de matemática y de los que no participan cuando se enfrentan a diferentes tipos de evaluaciones.

Construcciones Geométricas

Las construcciones geométricas adquirieron gran importancia, tanto en Grecia como en India, en relación con rituales religiosos para la construcción de altares con forma y magnitud dadas.

En Grecia, esto llevó al famoso problema de la duplicación del cubo, mientras que en India, lo importante en los altares era el área y no el volumen. En ambos casos, un paso esencial era resolver el siguiente problema: hallar un cuadrado que tenga la misma área que un rectángulo dado. Mientras los griegos lo resolvieron usando fundamentalmente la construcción del medio proporcional entre segmentos, los indios utilizaron el teorema de Pitágoras para resolverlo, en alrededor del año -600, cuando difícilmente podían haber sido influenciados por los griegos, lo que nos habla de algún origen común.

Los problemas aparecen en los textos; así encontramos en textos griegos, por ejemplo, un diálogo donde los delianos consultan al oráculo para liberarse de una plaga. El Dios (Apolo) les contesta a través del oráculo que deben construir un altar que tenga el doble de tamaño que el actual, pero la misma forma. La resolución de problemas de este tipo utilizando sólo la regla y el compás (aunque los mismos griegos no vacilaron en construir y utilizar otros instrumentos) preocupó a los matemáticos durante siglos. Los llamados "problemas clásicos", como la duplicación del cubo, la trisección del ángulo, la construcción del heptágono regular y la cuadratura del círculo, fueron satisfactoriamente resueltos (de hecho se probó la imposibilidad de realizar cualquiera de ellos) recién en los siglos XVIII y XIX.

Resolubilidad de las construcciones con regla y compás

Para tratar el caso en general, veamos cómo dadas cantidades a,b,c,... se puede construir una cantidad x dependiendo de su relación algebraica con las cantidades dadas. Para ello veamos primero cómo construir a+b , a-b , ra (r ∈ Q) , a/b y a*b.

Para construir a+b , transportamos sobre una recta las longitudes a y b desde un punto, con sentidos opuestos.

Para m. a con m ∈ N sumamos a m veces, y para a/m, con m ∈ N , desde un extremo de a trazamos m veces un segmento fijo sobre una semirrecta, unimos el último punto con el otro extremo de a , y la paralela a ésta por el primer punto corta a a en a/m .

Con ello podemos construir r*a con a ∈ Q .

Para construir a/b trazamos desde O , OA y OB desde O , sobre OB buscamos D a distancia 1 de O , la paralela a AB por D corta a OA en C , con OC=a/b .

Para a*b procedemos análogamente hasta obtener D , la paralela a DA por B corta a OA en C , con OC=a*b .

Es decir, toda cantidad x expresable con operaciones algebraicas racionales a partir de las cantidades dadas, puede construirse con regla y compás.

La única otra operación admitida es la extracción de raíz cuadrada. Para construir √a,trazamos sobre una recta los puntos OAB , de modo que OA=a y AB=1. La intersección de la circunferencia que tiene a OB como diámetro y la perpendicular a OB en A se cortan en Q . Los triángulos OAQ y QAB son semejantes, y llamando x=AQ, resulta a/x=x/1

de donde x2=a y x=√a.

A partir de esto es claro que es condición suficiente para que un punto pueda ser obtenido mediante construcciones con regla y compás a partir de otros, que sus coordenadas se expresen en función de las de los datos, con un número finito de operaciones racionales y extracción de raíces cuadradas.

Se puede demostrar, aunque no lo haremos aquí, que esta condición también es necesaria para la construcción con regla y compás.

La idea que hay detrás de la demostración es la siguiente: Si para comenzar damos un segmento (que consideraremos el segmento unitario), podemos construir cualquier segmento de medida racional. Decimos entonces que Q es un cuerpo de números.

Si le agregamos √k, k∈Q, √k ∉ Q, entonces el conjunto {a+b√k, a∈Q ∧ b∈Q} es un cuerpo de números (cualquier combinación racional de dos de ellos vuelve a ser de la misma forma)

También podemos entonces construir tangentes,

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