Covarianza ARMA(1,1)

“Autocovarianza de modelo ARMA (1,1)”

Consideremos el modelo ARMA (1,1) en el Yt se determina en función de su pasado hasta el primer retardo, la innovación contemporánea y el pasado de la innovación hasta el retardo 1:

La estructura de dependencia temporal representada por este modelo es:

La memoria de este proceso es larga debido a la presencia de estructura autorregresiva. La perturbación a_t influye directamente en Yt y en Yt-1, pero de forma indirecta, a través de la cadena de dependencia temporal de las Y, influye en todo el futuro del proceso.

Para comprobar la estacionariedad, se calculan las raíces del polinomio autorregresivo:

Para comprobar la invertibilidad, se calculan las raíces del polinomio medias móviles:

Las características del proceso ARMA (1, 1) estacionario son:

b) Función de autocovarianzas:

Para derivar los resultados siguientes, hay que tener en cuenta que:

La función de autocovarianzas de un ARMA (1,1) es:

Como se puede observar, la varianza cuenta con una parte que proviene de la parte de medias móviles, otra que proviene de la parte autorregresiva y una tercera que es la interacción entre ambas partes del modelo. La autocovarianza de orden 1, γ_1, es la suma de la autocovarianza de orden 1 de la parte AR (1) y de la autocovarianza de orden 1 de la parte MA(1). A partir del retardo 1, la parte medias móviles del modelo no aparece de forma explícita en la FACV, dependiendo ésta sólo de la estructura autorregresiva. Esta FACV es una función infinita, que depende de los parámetros AR, φ, y MA, θ, hasta k = 1 y luego decrece exponencialmente, siguiendo la estructura marcada por la parte autorregresiva de primer orden.

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