Cuando en un país, se disfruta de cierta estabilidad económica, se presentan con mayor frecuencia las operaciones mercantiles a través de pasos periódicos, que pueden ser con interés simple o con interés compuesto y en cuyo caso recibirán el nombre

Unidad II : Anualidades.

2.1 .- Introducción :

Cuando en un país, se disfruta de cierta estabilidad económica, se presentan con mayor frecuencia las operaciones mercantiles a través de pasos periódicos, que pueden ser con interés simple o con interés compuesto y en cuyo caso recibirán el nombre de anualidades.

2.2 .- Definición:

Desde el punto de vista financiero, se denomina anualidad a una serie de cantidades que vencen progresivamente a intervalos iguales en tiempos iguales, como lo son: rentas, abonos, sueldos, importes a invertir, etc. Por costumbre se denomina anualidad de pago o de inversión, aun cuando no se efectúa cada año, puesto que debe ser semestral, trimestral, bimestral, mensual, quincenal, semanal, es decir, cada periodo establecido.

2.3 .- Tipos de Anualidades:

2.3.1 .- Anualidades Vencidas:

También se le conoce como anualidad ordinaria y, como su primer nombre lo indica, se trata de casos en los que los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo.

[pic 1]

(Capital p) valor presente (P) : El valor presente P de la serie uniforme A, se puede determinar considerando cada valor A como un valor futuro en la formula de valor presente pago único y luego sumando los valores del valor presente. Es decir:

P = A + A + A + . . . + A .

(1+i)¹ (1+i)² (1+i)³ (1+i)n

en síntesis:

P = A [ (1 + i)n - 1 ] (1) ó P = A (P/A * i% * n) (2)

i( 1+i)n

El plazo n y la tasa de interés i%, deben expresarse en la misma base de tiempo.

(Monto) Valor Futuro (P) : Una anualidad esta formada por una serie de pagos A que a su vez son montos de la parte vencida, por lo que el monto o valor futuro de una anualidad es la suma de los montos compuestos de estos pagos A. Es decir, como los pagos se hacen en forma vencida, cada pago efectuado capitaliza interés, excepto el último (Puesto que con el termina la deuda), es decir:

F = A (1+i)n + A (1+i)n-1 + . . . + A, entonces :

F = A [(1+i)n - 1 ] (3) ó F= A(F/A, i%, n) (4)

i

Recuperación de Capital (A/P) : La recuperación de capital se obtiene empleando las formulas:

A = P [ i (1+i)n ] (5) ó A = P (A/P, i%, n) (6)

(1+i)n - 1

Donde: A es el pago de serie uniforme o anualidad.

Fondo de Amortización (A/F) : Para obtener el fondo de amortización, se emplean las formulas:

A = F [ i ] (7) ó A = F(A/F, i%, n) (8)

(1+i)n - 1

* Problema: En la compra de una máquina con valor de $10, 000 nos da la facilidad de adquirirla mediante 36 pagos iguales si pacta la operación con una tasa de interés del 6% mensual. ¿Cuál será el importe de los pagos?

Solución:

[pic 2]

Empleando: A = P (A/P, i%, n) = 100, 000 (A/P, 6%, 36)

A = $100, 000(0.06839) = $6839

Conclusión: Se requieren 36 pagos iguales de $6839 mensuales, para cubrir la deuda de $100, 000 a una tasa de interés del 6% mensual.

* Problema: Calcular el tiempo en que un capital de $10, 580 se pague en pagos iguales de $1000 con una tasa de interés mensual de 4%.

Solución:

[pic 3]

P = A [ (1 + i)n - 1 ]

i( 1+i)n

P = (1 + i)n - 1 = (1 + i)n - 1 .

A i( 1+i)n i( 1+i)n i( 1+i)n

P = 1 - 1 .

A i ( 1+i)n

P i = 1 - 1 .

A ( 1+i)n

P i - 1 = - 1 .

A ( 1+i)n

Pi - 1 = - ( 1+i)-n

A

( 1+i)-n = 1 + Pi

A

Log ( 1+i)-n = log (1 + Pi )

A

-n log (1+i) = log ( 1- Pi )

A

n = - log ( 1- Pi )

A

Log (1+i)

Sustituyendo:

n = - log [1- 10580(0.04)]

1000

Log (1+0.04)

n = 12 meses

Conclusión: Se requieren de 12 meses para saldar la deuda de $10,580 con pagos mensuales de $1 000.

* Problema: Si se depositan $3 000 mensuales durante 10 meses, ¿Cuál será el monto de esta operación si la tasa de interés mensual es 2%?

Solución:

[pic 4]

Empleando F=A(F/A, i%, n) = 3000(F/A, 2%, 10)=3000(10.9497)

Conclusión: 10 Pagos mensuales de $3000 a un interés del 2% mensual acumulando un monto de $32849.1

* Problema: Una aspiradora se vende al contado en $25, 000 a plazos, se recarga el valor en un 10% y se ofrece con el siguiente plan: $5000 de enganche y el saldo en 8 abonos mensuales. Hallar el valor de los abonos y la tasa de interés cargada .

Solución:

Valor de los abonos

A = [25000(1.10)-5000]/8

A = 2812.50/mes

[pic 5]

Empleando: P = A(P/A, i%, n)

20, 000= 2812.50(P/A, i%, 8)

(P/A, i%, 8) = 20, 000/2812.50

(P/A, i%, 8)= 7.1111

INTERPOLANDO:

7.0197 3%

7.1111 i%

  2%

c = (ad)/b = [(0.0914)(1)

c = 0.2988%

i = valor N°1 - c

i = 3% - 0.2988%

i =2.7% Mensual.

Conclusión: El valor de los pagos serán de $2812.50 cada mes, durante 8 meses, necesarios para saldar la deuda de $20, 000 a una tasa de interés de aproximadamente 2.7% mensual o de 32.4% anual capitalizada mensualmente.

2.3.2 .- Anualidades Anticipadas: Son aquellas en las que los pagos se realizan al principio de cada periodo, ejemplo: la renta de un departamento, etc.

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