Deducciones De Formulas En El área

Ideas y Recursos para el Aula

Deducciones de las formulas para calcular las áreas de fuguras geométricas a través

de proceso cognitivos

Julio Cesar Barreto Garcia

Universidad Nacional Abierta. Centro Local Yaracuy. Área de Matemática.

Universidad Centroccidental “Lisandro Alvarado”. Departamento de Matemáticas.

juliocbarretog@hotmail.com

Resumen

Nos proponemos deducir las formulas para calcular el área de diferentes figuras geométricas a partir del conocimiento que

tenían los griegos acerca del área del rectángulo y algunas propiedades de esta figura muy particular. Además veremos el

concepto de conjunto elemental y un axioma importante que cumplen los conjuntos elementales tal como es la aditividad, y

que además nos va a permitir junto al concepto de figura congruente deducir las formulas para calcular el área de otras

figuras geométricas. A parte de todo esto, los diferentes procesos cognitivos nos van a permitir “operar” con las figuras

geométricas de forma tal que sea más fácil de deducir la formula para calcular el área a partir de unas ya conocidas, es decir,

generando un conocimiento progresivo.

Palabras clave: Rectángulo, Área, Conjunto elemental, Figura congruente, Procesos cognitivos.

Introducción

El desarrollo de los procesos cognitivos en el campo de la Didáctica de la Matemática es capaz de ayudar a nuestros

estudiantes de secundaria en las deducciones de las formulas para calcular el área de diferentes figuras geométricas, los

cuales se deben realizar coordinando la caracterización propuesta por Duval (1998) y desarrollados por Torregrosa y

Quesada (2007) en la ultima referencia, en donde el proceso cognitivo de visualización está íntimamente relacionada con la

forma geométrica de la figura, es decir, su configuración y el razonamiento se basa en aplicar las afirmaciones matemáticas

que les corresponda algebraicamente.

La coordinación de estos procesos cognitivos les permitirá construir las formulas usadas para calcular el área de diferentes

figuras geométricas, las cuales junto al concepto de conjunto elemental y figuras congruentes facilitara la deducción de estas

fórmulas.

Relevancia

En la Historia de la Matemática, se le atribuye a los griegos el conocimiento de dos hechos importante para la geometría,

tales como: El área de un rectángulo de lados y es igual a y el área de un rectángulo es invariante por traslación.

Estos hechos nos permitirá deducir las formulas para calcular el área de diferentes figuras geométricas.

Referentes teóricos

El campo de la Didáctica de la Matemática ha tomado un auge muy importante en los últimos años, debido al estudio que ella

ha realizado en relación a los procesos cognitivos que deben desarrollar nuestros estudiantes al resolver los problemas de

geometría en los cuales estén envueltos.

En este artículo usaremos el modelo propuesto por Duval, en el cual se restringe un poco el concepto de visualización al de

aprehensión, en el cual “Concebimos las especies de las cosas sin hacer juicio de ellas o sin negar o afirmar”, según el

Diccionario de la Real Academia Española (2001).

En estas aprehensiones, nos desplazaremos de una que empieza cuando el estudiante realice por ejemplo una aprehensión

operativa de reconfiguración en un romboide cualquiera y lo transforme en un rectángulo de área conocida por los griegos, y a

través de esto deduzca la formula para calcular el área de este romboide.

Deducciones de las formulas para calcular las áreas de figuras geométricas poligonales

Las matemáticas son el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas

utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas. Así vamos a dar las primeras definiciones:

Definición 1 (Magnitud): Es todo aquello que se pueda medir. Entre las magnitudes que vamos a usar están las

denominadas “magnitudes escalares”, las cuales quedan completamente identificadas dando su valor, que siempre es un

número real acompañado de una unidad.

Definición 2 (Línea poligonal): Es la figura plana obtenida trazando segmentos no alineados, de modo que dos segmentos

consecutivos tengan sólo un extremo común. Esto lo veremos en la Figura 1 de abajo:

Figura 1: Línea poligonal.

Si cada vértice pertenece a dos lados, la poligonal se llama cerrada.

Definición 3 (Polígono): Es la región del plano limitada por una línea poligonal cerrada.

Definición 4 (Cuadrilátero): Es un polígono de cuatro lados.

Por consiguiente, posee también cuatro ángulos interiores, formado por cada dos lados consecutivos. Los vértices de un

cuadrilátero son la intersección de cada dos lados y se llaman vértices opuestos a aquellos que no están situados sobre el

mismo lado. La diagonal de un cuadrilátero son los segmentos determinados por cada dos vértices opuestos. Ahora, veamos

las siguientes definiciones:

Definición 5 (Paralelogramo): Cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.

Definición 6 (Rectángulo): Son los paralelogramos que tiene todos sus ángulos rectos.

Partiendo del cálculo de áreas se puede desarrollar a priori la idea de Medida, usando hechos primitivos conocidos por los

griegos, tales como:

(i). El área de un rectángulo de lados y es igual a

(ii). El área de un rectángulo es invariante por traslación.

Donde la Figura 2 nos muestra lo sucedido:

Figura 2: Rectángulo de longitudes en la base y en la altura

Demos ahora la siguiente definición:

Definición 7 (Conjunto elemental): Un conjunto se llama elemental si se puede expresar como unión finita de triángulos y

rectángulos. Cualquier polígono es un buen ejemplo de un conjunto elemental, esto lo veremos en la Figura 3 de abajo:

Figura 3: Conjunto elemental.

Ahora bien, de acuerdo a estos dos hechos primitivos tenemos que un paralelogramo rectángulo de iguales lados como es el

caso del cuadrado tiene área igual al producto de sus lados, es decir, lo que vino a ser el lado al cuadrado.

Veamos la Figura 4 de abajo:

Figura 4: Cuadrado.

Axioma[1] 1: El área de un conjunto elemental es aditiva.

Esto quiere decir que: Si y son conjuntos elementales tal que intersectado con es vació, un punto o un segmento,

entonces el área de unión es igual a la suma del área de mas el área de

Definición 8 (Romboide): Es el paralelogramo que no tiene ni sus ángulos

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