Definicion de serie

4.1 Definicion de serie

Una serie es una sucesión de un conjunto de términos formados según una ley determina.

Por ejemplo 1, 4, 9, 16, 25

Es la suma indicada de los términos de una secesión. Así de las sucesiones anteriores obtenemos la serie:

1 + 4 + 9 + 16 + 25

Cuando el número de términos es limitado, se dice que la sucesión o seri esfinita. Cuando el número de términos es ilimitado, la sucesión o seriede llamasucesión infinita.

El término general ó término enésimo es una expresión que indica la ley de formación de los términos.

4.1.1 FINITA

Sucesión de números tales que la proporción entre cualquier término (que no sea el primero) y el término que le precede es una cantidad fija llamada razón. Por ejemplo, la secuencia de números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es una progresión geométrica con razón 2; y 1, 1, 3, 7, 9, >, … (1)i, es una progresión geométrica con razón 1.

La primera es una progresión geométrica finita con siete términos; la segunda es una progresión geométrica infinita. En general, una progresión geométrica se puede describir utilizando la siguiente notación: a es el primer término, la razón es r y, en una progresión finita, n es el número de términos. Una progresión geométrica finita se escribe formalmente como

4.1.2 INFINITA

En un lenguaje sencillo, una serie a1+ a2+ a3+ a4… es una rreglo ordenado de número reales, uno para cada entero positiva, es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos y cuyo rango es un conjunto de números reales. Podemos indicar una sucesión mediante a1, a2, a3… mediante a(n) infinito=1, en algunos casos, extenderemos este concepto permitiendo que el dominio conste de todos los enteros mayores o iguales a un entero específico como en b1, b2, b3… y c8, c9, c10…. Que denotamos como {b(n)infinito=0} y {c(n)infinito=8, respectivamente.

Se puede especificar una sucesión dando suficientes términos iniciales para establecer un patrón como en:

1, 4, 7, 10, 13…

Mediante una fórmula explícita para el n-ésimo término, como en:

A(n)=3(n)-2, n >1

4.2 Serie numerica y convergencia, Prueba de la razon (Criterio de D'Alembert) y Prueba de la raiz (Criterio de Cauchy)

Serie Numerica y de Convergencia

En matemáticas, una secuencia es una lista ordenada de objetos (o eventos). Como un conjunto, que contiene los miembros (también llamados elementos o términos ), y el número de términos (posiblemente infinita) se llama la longitud de la secuencia. A diferencia de un conjunto, el orden importa, y exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones en la secuencia. Una secuencia es una discreta función.

Por ejemplo, (C, R, Y) es una secuencia de letras que difiere de (Y, C, R), como las cuestiones de pedido. Las secuencias pueden ser finitos, como en este ejemplo, o infinita, como la secuencia de todos, incluso positivos enteros (2, 4, 6 ,…). secuencias finitos se conocen como cadenas o palabras y secuencias infinitas como los arroyos. La secuencia vacía () se incluye en la mayoría de las nociones de secuencia, pero pueden ser excluidos en función del contexto.

Ejemplos y notacion

Hay muchas diferentes nociones de secuencias en las matemáticas, algunas de las cuales ( por ejemplo, la secuencia exacta ) no están cubiertos por las anotaciones que se presentan a continuación.

Además de identificar los elementos de una secuencia por su posición, como “la tercera elemento”, elementos que pueden dar los nombres de referencia conveniente. Por ejemplo, una secuencia podría ser escrito como ( un uno , un dos , un dos , …), o ( b 0 , b 1 , b 2 , …), o ( c 0 , c 2 , c 4 , …), dependiendo en lo que es útil en la aplicación.

Finito y lo infinito Una definición más formal de una secuencia finita con los términos de un conjunto S es una función de {1, 2, …, n } a S por alguna n > 0. Una secuencia infinita de S es una función de {1, 2, … A} S. Por ejemplo, la secuencia de números primos (2,3,5,7,11, …) es la función 1 → 2 , 2 → 3 , 3 → 5 , 4 → 7 , 5 → 11 , ….

Una secuencia de longitud finita n es también llamado n -tupla; secuencias finitas incluyen la secuencia vacía () que no tiene elementos.

Una de las funciones de todos los números enteros es que en un conjunto a veces se denomina secuencia infinita-bi o dos vías secuencia infinita. Un ejemplo es la secuencia bi-infinita de todos los enteros pares (…, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8 …).

Multiplicativo Deja una = ( una secuencia definida por una función f : {1, 2, 3, …} → {1, 2, 3, …}, de tal manera que un i = f (i). La secuencia es multiplicativo si f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) para todo x , y tales que x e y son primos entre sí.

Criterio de D'Alembert (Criterio de la razón)

Sea una serie , tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).

Si existe

con , el Criterio de D'Alembert establece que:

 si L < 1, la serie converge.

 si L > 1, entonces la serie diverge.

 si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sea una serie , tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe

, siendo

Entonces, si:

 L < 1, la serie es convergente.

 L > 1 entonces la serie es divergente.

 L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

4.3 Series de potencias

Cuando estudiamos las series geométricas, demostramos la siguiente fórmula: si |r| < 1, entonces

Definición 1: Sea una sucesión de números reales cualquiera. Una serie de potencias es una serie de la forma:

Donde x es una variable. .

Más generalmente, una serie de la forma

Es llamada una serie de potencias centrada en c.

Por ejemplo,

son series de potencias centradas en 0,

1 y -2, respectivamente.

Una serie de potencias en x puede ser vista como una función en x:

Cuyo dominio es el conjunto de todos los valores que puede tomar x para los cuales

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