Definición De Serie Infinita

Definición de Serie Infinita.

DEFINICIÓN DE SERIE:

Del mismo modo en que se maneja la idea de la sucesión tenemos también la idea de serie; de tal manera que ambos conceptos están relacionados, como podrás observar en la siguiente definición..

Si {a1} es la sucesión a1, a2, a3, ...an,..., entonces a la suma a2 + a3 + ...+ an +... Se le llama serie.

Los elementos a1, a2, a3, ... se denominan los términos de la serie y una forma simplificada para representarla es:

an = a1+ a2 + a3 + ...an +...

Esta representación conocida como notación tiene las siguientes propiedades:

1.- (xi + yi) = xi + yi

2.- kxi = k xi

3.- k = nk

La primera afirma que la sumatoria de una suma de dos términos es igual a la suma de las sumatorias individuales. La segunda asevera que la constante de una sumatoria puede factorizarse, y la tercera afirma que la sumatoria de una constante es simplemente n veces la cte.

Retomando el concepto de serie, abordaremos la siguiente pregunta ¿Una serie infinita tiene por suma un número?.

Veamos el siguiente ejemplo:

Ej. 1.- El número racional = 0.333... Entonces podemos escribir:

= + + + + ... =

Esta sumatoria, por la construcción que realizamos, se espera que sea igual a .

Ahora la serie 10 + 100 + 1000 + 10000 +...= 10n, intuitivamente no tiene por

suma un número, es decir, la serie no converge. El concepto de convergencia de una serie,

se define en términos de la convergencia de una sucesión llamada de sumas parciales {Sn} y que describimos a continuación:

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

.

.

.

Sn = a1 + a2 + a3 +... + an

.

.

.

Así, si la sucesión de sumas parciales converge, entonces la serie an converge y la suma de la serie (S) la representaremos por:

S = a1 + a2 +... + an +...

Analógicamente si {Sn},diverge, la serie será divergente.

Analicemos un ejemplo de sumas parciales:

Ej. 2.- Calculemos la sucesión de sumas parciales de:

Solución:

S1 =

S2 = +

S3 = + +

.

.

.

Sn = + + + ... +

Como podrás observar cuando n es muy grande, Sn será una aproximación para , es decir, la suma de la serie es: 1/3.

Lo anterior lo podemos representar de la siguiente manera:

Sn

=

=

=

Por

...