Derivadas

m´etodos para calcular los m´aximos y m´ınimos de las funciones se pueden aplicar a la

soluci´on de algunos problemas pr´acticos. Estos problemas pueden expresarse verbalmente o por

escrito. Para resolverlos hay que transformar sus enunciados en f´ormulas, funciones o ecuaciones.

Como hay muchos tipos de problemas en las aplicaciones, es dif´ıcil enunciar reglas espec´ıficas para

encontrar sus soluciones. Sin embargo, puede desarrollarse una estrategia general para abordar

tales problemas. la siguiente gu´ıa es de utilidad.

GU´IA PARA RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS DE MAXIMOS ´ Y M´INIMOS

1.- Leer cuidadosamente el problema varias veces y pensar en los hechos dados y en las cantidades

desconocidas que se tratan de encontrar.

2.- De ser posible, hacer un croquis o un diagrama que incluya los datos pertinentes introduciendo

variable para las cantidades desconocidas. Las palabras como qu´e, encontrar, cu´anto, d´onde

o cu´ando suelen estar asociadas a las cantidades desconocidas.

3.- Enunciar los hechos conocidos y las relaciones entre las variables.

4.- Determinar cual es la variable que se desea optimizar (minimizar o maximizar segun´ el caso)

y expresar ´esta como una funci´on de una de las otra variables.

5.- Encontrar los numeros ´ cr´ıticos de la funci´on obtenida en el paso 4 e investigar si corresponden

a m´aximos o m´ınimos.

6.- Verificar si hay m´aximos o m´ınimos en la frontera del dominio de la funci´on que se obtuvo

en el paso 4.

7.- No desanimarse si no se puede resolver algun´ problema. Adquirir habilidad para resolver

problemas aplicados toma una gran cantidad de esfuerzo y pr´actica. ¡Hay que

seguir intentando!

La soluci´on de los siguientes problemas ilustra el uso de la Gu´ıa

Problema 1 Se desea construir una caja sin tapa con base rectangular a partir de una hoja rect-

angular de cart´on de 16cm de ancho y 21cm de largo, recortando un cuadrado en cada esquina y

doblando, los lados hacia arriba. Calcular el lado del cuadrado para el cual se obtiene una caja de

volumen m´aximo.

Soluci´on. Aplicando el paso 2 de la Gu´ıa, comenzaremos por trazar un croquis del cart´on como

se muestra en la figura 1, en donde la letra x denota la longitud del lado del cuadrado que se va a

recortar en cada esquina. N´otese que 0 ≤ x ≤ 8. Usando el paso 3, escribimos los datos conocidos

(el tamano˜ del rect´angulo) en los lugares apropiados de la figura

16 16 − 2x

21 − 2x

21

Figura 1

x

21 − 2x

16 − 2x

x

Figura 2

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