Derivadas

Criterio de la primera derivada

Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico .

Teorema valor máximo y mínimo

"Sea un punto crítico de una función que es continua en un intervalo abierto que contiene a . Si es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en , entonces puede clasificarse como sigue."

1. Si ' cambia de positiva a negativa en , entonces tiene un máximo relativo en .

2. Si ' cambia de negativa a positiva en , entonces tiene un mínimo relativo en .

3. Si ' es positiva en ambos lados de o negativa en ambos lados de c, entonces no es ni un mínimo ni un máximo relativo. El criterio no decide.

Criterio de la segunda derivada

El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.

Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función es convexa en un intervalo abierto que contiene a , y debe ser un mínimo relativo de . De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a y debe ser un máximo relativo de .

Teorema

Sea una función tal que y la segunda derivada de existe en un intervalo abierto que contiene a

Si , entonces tiene un máximo relativo en .

Si , entonces tiene un mínimo relativo en .

Si , entonces el criterio falla. Esto es, quizás tenga un máximo relativo en , un mínimo relativo en o ninguno de los dos. Tomar como ejemplo la función f(x) = x³. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.

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