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Introducción

Un sistema de Markov (o proceso de Markov o cadena de Markov) es un sistema que puede ser en uno de algunos estados (enumerados), y que puede pasar de un estado a otro durante cada instante de acuerdo a probabilidades determinadas.

Si un sistema de Markov está en estado i, Hay una determinada probabilidad, pij, de ir a estado j el próximo paso, y pij es llamado la probabilidad de transición.

Un sistema de Markov puede ser ilustrado por significados de un diagrama de transición de estados, que muestra todos los estados y las probabilidades de transición.

Procesos de Markov

Los modelos de procesos de Markov son útiles para estudiar la evolución de sistemas a lo largo de ensayos repetidos los que, a menudo, son períodos sucesivos donde el estado del sistema en cualquier período en particular no puede determinarse con certeza. Por ello, para describir la forma en que el sistema cambia de un período a otro consecutivo se emplean probabilidades de transición. Por tanto se está interesado en la probabilidad de que el sistema esté en un estado particular en un período dado.

Estos modelos tienen múltiples aplicaciones, puede usarse para describir la probabilidad de que una máquina que está funcionando en un período continuará funcionando en el siguiente. También pueden usarse los modelos para describir la probabilidad de que un consumidor que compra la marca A en un período la siga comprando en el siguiente o se pase a una marca B.

Las cadenas de Markov de primer orden

Las cadenas de Markov de primer orden pueden usarse como modelo de procesos que tengan las siguientes propiedades:

1) El conjunto de sucesos posibles es finito.

2) La probabilidad del siguiente suceso depende solamente del suceso inmediatamente anterior.

3) Estas probabilidades permanecen constantes con el tiempo.

Cada suceso individual se denomina un estado. en el desarrollo del tema, S denotará los estados de un total de m estados posibles, donde m será finito, mayor o igual a 2. Cada vez que se produce un nuevo resultado o suceso se dice que el proceso ha avanzado o que se incrementa en un paso. Esto puede repetirse tantas veces como se desee. Un paso representa un período de tiempo o cualquier otra condición que pueda conducir a otro suceso posible, n simboliza el número de pasos o incrementos; por lo tanto, n= 0 es el presente, n= 1 es el suceso posible en la siguiente ocasión y n= 2 es el suceso en una ocasión después de la siguiente.

Ejemplo: Un cliente puede comprar un auto de marca Renault, Chevrolet o Mazda. Se supone que esta situación cubre todas las posibilidades. Su siguiente compra eta controlada por el auto que posee actualmente. Cada vez que compra un nuevo carro ocurre un paso. Hay m= 3 estados posibles.

Notación del estado Descripción

S1 El cliente compra un Renault

S2 El cliente compra un Chevrolet

S3 El cliente compra un Mazda

En el presente n= 0, S1,S2, o S3 representan el estado presente, es decir, la clase de auto que posee actualmente el cliente. En n=1, en la siguiente ocasión, S1,S2, o S3 representan todos los resultados posibles de su siguiente compra.

Formulación de un proceso como una cadena de Markov de primer orden

Se tiene la siguiente información acerca de la compra de autos:

Compra actual (n=0) Sgte. compra (n=1)

% que compra Renault % que compra Chevrolet % que compra Mazda

Renault 40 30 30

Chevrolet 20 50 30

Mazda 25 25 50

La tabla presenta la probabilidad de que un cliente que ahora posee un Renault (S1) n=0, pueda comprar un Renault, Chevrolet, o Mazda en la siguiente ocasión, n=1. Se tiene la información para todos los posibles estados. Si indica que que el proceso esté ahora en el i-ésimo estado y Sj indica que en algún paso posterior (generalmente en la siguiente ocasión) el proceso estara en el j-ésimo estado.

Cuando la información se escribe en forma de tabla de probabilidades, se denomina matriz de transición y se designa como P.

Cada elemento de esta tabla representa la probabilidad de desplazarse desde un estado hasta otro. Un elemento de una matriz de transición se designa por pij, esta es la probabilidad condicional de que si el proceso está ahora en el estado i, en el siguiente paso podrá estar en el estado j.

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que un propietario de Mazda compre un Renault en la siguiente ocasión?

En n=0, el estado es S3 (Mazda), y en n=1, el estado es S1 (Renault), por lo tanto la probabilidad es p31=0.25.

Una matriz de transición debe cumplir las siguientes condiciones:

1) Cada elemento es una probabilidad, por lo tanto debe tener un valor entre 1 y 0.

2) Cada fila debe sumar exactamente 1.

3) La matriz debe ser cuadrada.

La siguiente es la notación general:

En n=0, el estado es S3 (Mazda), y en n=1, el estado es S1 (Renault), por lo tanto la probabilidad es p31=0.25.

Una matriz de transición debe cumplir las siguientes condiciones:

1) Cada elemento es una probabilidad, por lo tanto debe tener un valor entre 1 y 0.

2) Cada fila debe sumar exactamente 1.

3) La matriz debe ser cuadrada.

La siguiente es la notación general:

Una matriz de transición P está compuesta por filas de vectores de probabilidad Vi.

Análisis de probabilidad por medio de cadenas de Markov de primer orden

Para determinar la probabilidad de un evento después de n pasos, dado algún estado inicial específico Si, se utiliza la matriz de transición.

Ejemplo: Si un cliente acaba de comprar un auto Renault, Si= S1 en n= 0, ¿Cuál es la probabilidad de que él pueda comprar un Chevrolet en la siguiente ocasión, Sj= S2 en n= 2?

La matriz de transición es:

Para el estado S1, V1= 0.4, 0.3, 0.3. Esto quiere decir que si el estado presente es S1, la probabilidad de que el siguiente estado sea S1 es p11=0.4, S2 es p12=0.3 y S3 es p13= 0.3, por tanto el vector da las probabilidades de los sucesos para el siguiente paso, a partir de un estado presente. Sea Vi^n el vector de probabilidades que describe las probabilidades de los posibles sucesos en n pasos si el estado presente

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