Distribuciones De Probabilidad

DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD

La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.

DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA

La estadística es una ciencia que estudia la recolección, análisis e interpretación de datos, ya sea para ayudar en la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o irregulares de algún fenómeno o estudio aplicado, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional. Sin embargo estadística es más que eso, en otras palabras es el vehículo que permite llevar a cabo el proceso relacionado con la investigación científica.

LA ESTADÍSTICA SE DIVIDE EN DOS GRANDES ÁREAS:

• La estadística descriptiva, se dedica a los métodos de recolección, descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos de estudio. Los datos pueden ser resumidos numérica o gráficamente. Ejemplos básicos de parámetros estadísticos son: la media y la desviación estándar. Algunos ejemplos gráficos son: histograma, pirámide poblacional, clústers, entre otros.

• La estadística inferencial, se dedica a la generación de los modelos, inferencias y predicciones asociadas a los fenómenos en cuestión teniendo en cuenta la aleatoriedad de las observaciones. Se usa para modelar patrones en los datos y extraer inferencias acerca de la población bajo estudio. Estas inferencias pueden tomar la forma de respuestas a preguntas si/no (prueba de hipótesis), estimaciones de características numéricas (estimación), pronósticos de futuras observaciones, descripciones de asociación (correlación) o modelamiento de relaciones entre variables (análisis de regresión). Otras técnicas de modelamiento incluyen anova, series de tiempo y minería de datos.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

En teoría de la probabilidad una distribución de probabilidad se llama continua si su función de distribución es continua. Puesto que la función de distribución de una variable aleatoria X viene dada por , la definición implica que en una distribución de probabilidad continua X se cumple P[X = a] = 0 para todo número real a, esto es, la probabilidad de que X tome el valor a es cero para cualquier valor de a. Si la distribución de X es continua, se llama a X variable aleatoria continua.

En las distribuciones de probabilidad continuas, la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:

Estas son las funciones de probabilidad que se aplican en las variables aleatorias continuas:

1. Distribución Beta

2. Distribución exponencial

3. Distribución F

4. Distribución Gamma

5. Distribución ji cuadrado

6. Distribución normal

7. Distribución t de Student

DISRIBUCION BETA

La distribución beta es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros a y b cuya función de densidad para valores 0 < x < 1 es

Aquí Γ es la función gamma.

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución beta son

.

Un caso especial de la distribución beta con a = 1 y b = 1 es la distribución uniforme en el intervalo [0, 1].

Para relacionar con la muestra se iguala E[X] a la media y V[X] a la varianza y se despejan a y b.

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

En estadística la distribución exponencial es una distribución de probabilidad continua con un parámetro λ > 0 cuya función de densidad es:

Su función de distribución es:

Donde e representa el número e.

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución exponencial son:

DISTRIBUCIÓN F

Usada en teoría de probabilidad y estadística, la distribución F es una distribución de probabilidad continua. También se la conoce como distribución F de Snedecor (por George Snedecor) o como distribución F de Fisher-Snedecor.

Una variable aleatoria de distribución F se construye como el siguiente cociente:

Donde:

• U1 y U2 siguen una distribución chi-cuadrado con d1 y d2 grados de libertad respectivamente, y

• U1 y U2 son estadísticamente independientes.

La distribución F aparece frecuentemente como la distribución nula de una prueba estadística, especialmente en el análisis de varianza. Véase el test F.

La función de densidad de una F(d1, d2) viene dada por

Para todo número real x ≥ 0, donde d1 y d2 son enteros positivos, y B es la función beta.

La función de distribución es

Donde I es la función beta incompleta regularizada.

DISTRIBUCIÓN GAMMA

La distribución gamma es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros k y λ cuya función de densidad para valores x > 0 es

Aquí e es el número e y Γ es la función gamma. Para valores la aquella es Γ(k) = (k − 1)! (el factorial de k − 1). En este caso - por ejemplo para describir un proceso de Poisson - se llaman la distribución Erlang con un parámetro θ = 1/λ.

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X de distribución gamma son

E[X] = k / λ = kθ V[X] = k / λ2 = kθ2

DISTRIBUCIÓN JI CUADRADO

La distribución χ² (de Pearson), llamada Chi cuadrado o Ji cuadrado, es una distribución de probabilidad continua con un parámetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria

Donde Zi son variables aleatorias normales independientes de media cero y varianza uno. El que la variable aleatoria X tenga esta distribución se representa habitualmente así: .

Es conveniente tener en cuenta que la letra griega χ se transcribe al latín como chi y se pronuncia en castellano como ji.

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales.

La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro. Esta curva se conoce como campana de Gauss.

La importancia de esta distribución radica en que

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