ECUACIONES LINEALES EN ING

Una Constructora tiene tres maquinarias que son empleadas en la fabricación de cuatro productos diferentes. Para utilizar plenamente las máquinas estas estarán en operación 8 horas diarias. El número de horas que cada máquina es usada en la producción de cada uno de los cuatro productos está dado por

Producto 1 (Horas) Producto 2 (Horas) Producto 3 (Horas) Producto 4 (Horas)

Máquina 1 1 2 1 2

Máquina 2 2 0 1 1

Máquina 3 1 2 3 0

Por ejemplo, en la producción de una unidad del producto 1 la máquina 1 se usa 1 hora, la máquina 2 se usa 2 horas y la máquina 3 se usa 1 hora.

Encuentre el número de unidades que se deben producir de cada uno de los 4 productos un día de 8 horas completas.

Solución: Sea x_i el número de unidades que se deben producir del producto “ _i” que se fabrican durante las 8 horas con _i = 1, 2, 3 y 4.

1X_1: Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina 1 en la fabricación del producto 1.

2X_2: Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina 1 en la fabricación del producto 2.

1X_3: Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina 1 en la fabricación del producto 3.

2X_4: Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina 1 en la fabricación del producto 4.

Como la máquina 1 debe ser usada 8 horas diarias, entonces tenemos que:

Procediendo de forma similar para las máquinas 2 y 3 obtenemos el sistemas de ecuaciones lineales siguiente

Aplicando eliminación de Gauss-Jordán llegamos al sistema equivalente

De donde,

Cada x_i es no negativa por representar la cantidad de unidades fabricadas del producto _i cada día, por lo tanto x_i < 0 no tiene sentido.

Si asumimos que se produce un número completo de unidades, entonces x_i debe ser además un número entero para que todos los x_i , sean no negativos x_4 debe ser un entero menor o igual que 2, y por lo tanto las posibles soluciones son:

x_1 x_2 x_3 x_4

Solución 1 4 2 0 0

Solución 2 3 1 1 1

Solución 3 2 0 2 2

Por ejemplo la solución 1 significa que en un día para las máquinas estar completamente utilizadas se deben producir 4 unidades del producto 1, 2 del producto 2 y ninguna de los productos 3 y 4.

Para resolver un problema que involucra sistemas de ecuaciones lineales se debe tener en cuenta lo siguiente:

1. Entender el problema.

2. Determinar los datos conocidos.

3. Nombrar adecuadamente las incógnitas de acuerdo a lo que se pida.

4. Establecer las relaciones existentes

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