Ejemplo De Una Ecuaciin Diferencial Aplicada

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES POR VARIABLES SEPARADAS

Se utilizan cuando se considera que los cambios de la variable en cuestión se producen de manera continua o constante, las razones de cambio se presentan como derivadas y las ecuaciones que la contienen son las ecuaciones diferenciales. Un ejemplo sería;

La razón de crecimiento del volumen de ventas “y” a medida que el precio “x” decrece, es proporcional al volumen de ventas e inversamente proporcional a la diferencia entre el precio “x” y una constante b.

1. Exprese matemáticamente el problema planteado. Interprete el parámetro de la contante “b”.

2. Halle la relación entre el volumen de ventas “y” y el precio “x”, es decir la relación general.

3. Verifique la solución hallada.

Solución;

1. dy/dx = -ay / (x-b)

2. Primero intercambiamos los términos de “x” y “y” de cada lado con su respectivo diferencial:

Dy/y =-a/(x-b) dx

∫dy/y = -a∫dx/(x-b)

Ln|y| = -a Ln|x-b| + C

Ln|y| + a Ln|x-b| = C

Ln[y(x-b) a] = C

Y(x-b) a = ℮C

y = C1 / (x-b) a

3. Para comprobar la ecuación simplemente hay que volverla a derivar y si nos queda el resultado original nuestro resultado es correcto:

dy / dx = c1 (-a) (x-b) -a-1

dy / dx = -a c1 / (x-b) a+1

=[-a / (x-b)] .c1 / (x-b)a

= – a y / (x-b)

Nuestra ecuación ya está acomodada de tal forma que satisface las condiciones planteadas de nuestro problema, sobra decir que solo hay que sustituir las variables de nuestro problema para obtener los resultados requeridos.

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