Ejercicios De Centro De Masa

44) hallar el centroide de la región W limitada, en coordenadas esféricas, por ∅ igual ∅_0 y la esfera ρ =R.

Hallando:

∭▒ρ(x,y,z)dv

Coordenadas esféricas:

M=∫_0^2π▒dθ ∫_0^R▒dr ∫_0^(∅_0)▒〖r^2 sen∅d∅〗

M=∫_0^2π▒dθ ∫_0^R▒〖r^2 dr〗 [-cos∅] ■(∅_0@0)

M=∫_0^2π▒dθ ∫_0^R▒〖r^2 (-cos∅_0-1)dr〗

M=∫_0^2π▒dθ(R^3/3)(1-cos∅_0)

M=(2πR^3)/3(1-cos∅_0)

Ahora los momentos:

Mxy= ∫_0^2π▒dθ ∫_0^R▒dr ∫_0^(∅_0)▒〖〖zr〗^2 sen∅d∅〗

Mxy= ∫_0^2π▒dθ ∫_0^R▒dr 〖rcos∅ r〗^2 sen∅d∅

Mxy= (πR^4)/2 〖sen〗^2 ∅_0

Mxy= (πR^4)/2 (1-cos∅_0)(1+cos∅_0)

Myz= ∫_0^2π▒dθ ∫_0^R▒dr ∫_0^(∅_0)▒〖〖x r〗^2 sen∅d∅〗 ; x=rcos θsen∅

Myz=0

Mxz= ∫_0^2π▒dθ ∫_0^R▒dr ∫_0^(∅_0)▒〖〖y r〗^2 sen∅d∅〗 ; y=rsen θsen∅

Mxz=0

Centroide:

x= Myz/M

x= 0/M=0

y= Mxz/M

y= 0/M=0

z= Mxy/M

z= ( (πR^4)/2(1-cos∅_0)(1+cos∅_0))/((2πR^3)/3(1-cos∅_0))

z= 3R/4(1+cos∅_0)

Centroide:

(0,0,3R/4(1+cos∅_0))

45) halle el centroide del solido limitado por el plano xy, el cilindro x^2+y^2= R^2 y el plano x|R+z|H=1.

Hallando la masa:

M= ∫_0^2π▒dθ ∫_0^R▒dr ∫_0^(1-x/R)H▒rdz

M= ∫_0^2π▒dθ ∫_0^R▒dr ∫_0^(1-rcosθ/R)H▒rdz

M= πR^2 H

Mxy= ∫_0^2π▒dθ ∫_0^R▒dr ∫_0^(1-rcosθ/R)H▒rzdz

Mxy=(5πR^2 H)/8

Mxz= ∫_0^2π▒dθ ∫_0^R▒dr ∫_0^(1-rcosθ/R)H▒〖r r senθdz〗

Mxz=0

Mxz= ∫_0^2π▒dθ ∫_0^R▒dr ∫_0^(1-rcosθ/R)H▒〖r r cosθdz〗

Mxz=0

Las coordenadas del centroide son:

x= Myz/M

x= 0/M=0

y= Mxz/M

y= 0/M=0

z= Mxy/M

z= ((5πR^2 H)/8)/( πR^2 H)

z= 5H/8

Centroide:

(0,0,5H/8)

46) usando coordenadas cilíndricas, demuestre que el centroide de un cono circular de altura h y radio R se encuentra a altura h/4 sobre el eje central.

Por coordenadas cilíndricas:

X= ρsen∅cosθ

Y= ρsen∅senθ

Z= ρcos∅

ρcos∅=√(〖(ρsen∅cosθ)〗^2+〖( ρsen∅senθ)〗^2 )

cos∅=sen∅

∅=π/4=45°

M= ∫_0^2π▒dθ ∫_0^R▒dρ ∫_0^(π/4)▒〖ρ^2 sen∅〗 d∅

M= ∫_0^(π/4)▒〖d∅〗 ∫_0^2π▒dθ ∫_0^R▒〖ρ^2 sen∅〗 dρ

M=

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