CENTRO DE MASA

Centro de masa

La conservación del momento total nos da un método para analizar un "sistema de partículas". Un sistema tal puede ser virtualmente cualquier cosa (un volumen de gas, agua en un recipiente o una pelota de béisbol). Otro concepto importante nos permite el análisis del movimiento general de un sistema de partículas. Comprende la representación del sistema entero, como una partícula sencilla cuyo concepto se iniciará aquí.

Si no hay alguna fuerza externa que actúe sobre una partícula, su cantidad de movimiento lineal es constante. En una forma similar, si no hay alguna fuerza que actúe sobre un sistema de partículas, la cantidad de movimiento lineal del sistema también es constante. Esta similitud significa que un sistema de partículas se puede representar por una sola partícula equivalente. Objetos móviles taIes como pelotas, automóviles y demás, se pueden considerar en la práctica como sistemas de partículas y se pueden representar efectivamente por partículas simples equivalentes cuando se analiza su movimiento. Tal representación se hace por del concepto de centro de masa (CM).

El Centro de masa es el punto en el cual se puede considerar concentrada toda la masa de un objeto o de un sistema.

Aun si el objeto está en rotación, el centro de masa se mueve como si fuera partícula. Algunas veces el centro de masa se describe como si estuviera en el punto de equilibrio de un objeto sólido. Por ejemplo, si usted equilibra un metro sobre su dedo, el centro de masa de la varilla de madera está localizado directamente sobre su dedo y toda la masa parece estar concentrada ahí

La segunda ley de Newton se aplica a un sistema cuando se usa el centro de masa

En donde F es la fuerza externa neta, M es la masa total del sistema o la suma masas de las partículas del sistema (M = m1 + m2 + m3+...+mn), donde el sistema tiene n partículas), y ACM es la aceleración del centro de masa. La ecuación dice que el centro de masa de un sistema de partículas se mueve como si toda la masa del sistema estuviera concentrada alli, y recibiera la acción de la resultante de las fuerzas externas.

Así mismo, si la fuerza externa neta que actúa sobre un sistema de partícula cero, la cantidad de movimiento lineal total del centro de masa se conserva (permanece constante) dado que

como para una partícula . Esto significa que el centro de masa se mueve con una velocidad constante o permanece en reposo. Aunque usted puede visualizar con más facilidad el centro de masa de un objeto sólido, el concepto del centro de masa se aplica a cualquier sistema de partículas u objetos, aunque esté en estado gaseoso. Para un sistema de n partículas dispuestas en una dimensión, a lo largo del eje de las x , la posición del centro de masa esta dada por

Esto es, Xcm es la coordenada x del centro de masa de un sistema de partículas. En una notación corta (usando signos para indicar las direcciones de los vectores)

en donde la sumatoria , indica la suma de los productos m1x1. para i partículas (i= 1, 2, 3,..., n). Si sumatoria x1 m1 = 0, entonces Xcm = O, y el centro de masa del sistema unidimensional está localizado en el origen.

Otras coordenadas del centro de masa para sistemas de partículas se definen en forma similar. Para una distribución bidimensional de masas, las coordenadas Iro de masa son (Xcm, ; Ycm)

Un concepto especialmente útil al analizar el movimiento de un sistema de mu¬chas partículas, o un cuerpo finito, es el de Centro de masa, abreviado CM de aquí en adelante. Aunque el CM es muy útil al tratar la rotación, también simplifica considerablemente el análisis de los choques, y por tanto introduciremos este concepto.

La posición del CM de un sistema de N partículas de masas m1, m2,... mn en lugares dados por sus vectores R1, R2, ............Rn está dada por

MRcm = m1 R1+ m2 R2+......................+ mn Rn en donde M( = M1 + M2 + .........Mn) es la masa total del sistema.

Cuando esas partículas se mueven bajo la influencia de fuerzas externas e internas, su posición cambia con el tiempo. Si en el breve intervalo delta t, la posición de los vectores a delta R1, delta R2.............delta Rn, la localización del CM estará dada por

M(Rcm + delta Rcm) = M1(R1+delta1) + M2(R2+delta2) + Mn(Rn+deltan)

De la ecuación se despeja

Pcm= P1+P2+.......+Pn

Centro de masas de un nivel: Es el punto donde se considera aplicada la carga horizontal “Fi” que incide sobre ese nivel. El centro de masas coincide con el centro de gravedad de las cargas verticales del nivel (cargas muertas + proporción de cargas vivas).

Análisis Estructural: es la predicción del comportamiento de una estructura bajo cargas prescritas y otras acciones externas, o la combinación de ambas, como son los movimientos en los apoyos y los cambios de temperatura.

Densidad muro-área: Cociente que resulta de dividir el área total de los muros de carga de cada piso entre la suma de las áreas de cada piso.

Cargas: Es todo aquello capaz de producir deformación a un cuerpo.

Cargas Muertas: Peso de los elementos estructurales y no estructurales, peso de las terminaciones y cualquier otro elemento fijo.

Cargas Vivas: Peso de las personas y los muebles de la casa y cualquier otra carga dinámica.

Carga Sísmica: Efecto de las fuerzas verticales y horizontales resultantes de los movimientos sísmicos.

CENTRO DE MASA DE UNA REGIÓN PLANO:

La región plana se va a tomar como una lámina bidimensional de densidad ( en g/cm o kg/m o lb/p )

Si una región tiene un ejes de simetría, el centro de masa (si la densidad es uniforme ) estará sobre el o los ejes de simetría: Así un circulo tendrá su centro de masa en el centro que es el punto de intersección de los diámetros, un rectángulo en el punto de corte de sus diagonales, o en el punto de intersección de las rectas que bisectan sus lados.

Sea la región plana limitada por la curva , las rectas , y el eje .

Consideremos una partición del intervalo

Se toma .

Consideremos el rectángulo. Este tiene como base y altura .

El centro de masa de un rectángulo como ese está localizado en

El momento de un rectángulo con respecto al eje es y

el momento de un rectángulo con respecto al eje es

Por lo tanto

Haciendo el razonamiento usual para cuando la norma de la partición tiende a y para tomar el

límite de cada una de las sumas

, cuando

Como

...