CENTRO DE MASA

CENTRO DE MASA:

Se define como el centro de gravedad de las cargas verticales del mismo. En caso de que las cargas verticales presenten una distribución uniforme, el centro de masa coincidirá con el centroide geométrico de la planta del piso. Es el punto donde se considera aplicada la fuerza sísmica horizontal que actúa en un piso de la estructura.

Podemos decir que el centro de masa o el centro de gravedad es el punto de aplicación del peso corporal:

• Definición física

La definición física del centro de masa es una colección de partículas (m1, m2, m3), cuyas posiciones pueden ser presentados por vectores de posición (r1,r2,r3), respectivamente en comparación con un sistema inercial (posiciones con respecto a un observador que es el mismo a una partícula libre o sistema)

Calculo de un centro de masas:

Para un sistema de masas discreto, formado por un conjunto de masas puntuales, el centro de masas se puede calcular como:

Mi: masa de la partícula i-esima

R: vector de posición de la masa i-esima

Respecto al sistema de referencia asumido

• Distribución de masa homogénea

Distribución de masa homogénea: Si la masa está distribuida homogéneamente, la densidad será constante por lo que se puede sacar fuera de la integral haciendo uso de la relación

Nota: V es el volumen total. Para los cuerpos bidimensionales o mono dimensionales se trabajará con densidades superficiales /longitudinales y con superficies /longitudinales.

Para el caso de los cuerpos con geometría regular tales como esferas, paralelepípedos, cilindros, etc. el centro de masa coincidirá con el baricentro del cuerpo.

• Distribución de masa no homogénea

Los centros de masas en cuerpos de densidad variable pueden calcularse si se conoce la función de densidad.

En este caso se calcula el centro de masa de la siguiente forma

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Hallar la posición del c. m. del triángulo de la figura.

Solución

Ecuación de la recta (hipotenusa) y=− a b x+a

Elemento diferencial de área, dA=y·dx

x cm = ∫ x·dA ∫ dA = 1 3 b ∫ x·dA = ∫ x(y·dx)= ∫ 0 b x( − a b x+a ) dx= 1 6 a b 2 ∫ dA = ∫ y·dx= ∫ 0 b ( − a bx+a ) dx= 1 2 ab

Elemento diferencial de área, dA=x·dy

y cm = ∫ y·dA ∫ dA = 1 3 a ∫ y·dA = ∫ y(x·dy)= ∫ 0 a x( − b a y+b ) dy= 1 6 a 2 b ∫ dA = ∫ x·dy= ∫ 0 a ( − b ax+b ) dy= 1 2 ab

2. Determinar la posición del centro de masa de la siguiente figura plana y homogénea formada por un rectángulo y un cuarto de círculo.

Solución:

Centro de masa del rectángulo de área 50, x1=-2.5, y1=5

Centro de masa del cuarto de círculo de área π·102/4=25π.

El eje de simetría es la bisetriz del primer cuadrante x2=y2

Calculamos x2 o y2. Elemento diferencial de área, dA=y·dx

x cm = ∫ x·dA ∫ dA = 4R 3π = 40 3π ∫ x·dA = ∫ x(y·dx)= ∫ 0 R x R 2 − x 2 dx= 1 3 R 3 ∫ dA = ∫ y·dx= ∫ 0 R R 2− x 2 dx=− R 2 ∫ π/2 0 sin⁡ 2 θ·dθ =− R 2 ∫ π/2 0 1−cos⁡(2θ) 2 ·dθ= 1 4 π R 2

Para calcular el área del cuarto de círculo, se ha efectuado el cambio de variable, x=R·cosθ, dx=-R·sinθ.

Centro de masas de las dos figuras

x cm = 50(−2.5)+25π( 40 3π ) 50+25π =1.62 y cm = 50·5+25π( 40 3π ) 50+25π =4.54

3. Calcular la posición del centro de masas de la siguiente placa suponiendo que su masa está uniformemente distribuida por toda ella:

Solución:

Visto que nos dan la expresión de la curva que define la placa en coordenadas polares, trabajaremos en dicho tipo de coordenadas. Podemos dividir la placa en sectores angulares de abertura dθ . Cada sector angular podemos asociarlo a un triángulo (isósceles en nuestro caso), y como sabemos la posición del C.M. de un triángulo (situado a un tercio de la altura sobre la base) tomaremos dicha posición como la representativa de cada sector angular.

El área de toda la placa será, por lo tanto:

La coordenada x del C.M. será:

El cálculo de la coordenada y del C.M. no es necesario hacerlo ya que el eje X es un eje de simetría de la placa y por lo tanto el C.M. se encontrará en él, con lo que:

4. Calcular la posición del centro de masas de la siguiente placa suponiendo que su masa está uniformemente distribuida por toda ella:

En primer lugar, y antes de iniciar los cálculos del C.M., vamos a determinar el valor de las constantes m y k para las curvas. Para x = a tenemos que y = b; con lo que deducimos que Las dos curvas vienen dadas por lo tanto por las ecuaciones:

Para calcular la coordenada x del C.M. será conveniente dividir la placa en diferenciales de área cuyos puntos posean una coordenada x la misma para todos ellos. Vamos por lo tanto a dividir la placa en bandas verticales de espesor dx.

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