Ensayo De Matematicas

Enunciado 1

Resolver la ecuación diferencial :

y′=p(x)⋅y=0

con la condición y(0) = 1 siendo :

p(x)=⎧⎩⎨2∀0≤x≤11∀x>1

Ejercicios de ecuaciones diferenciales - Respuesta 1

Esta ecuación es del tipo lineal por ser de primer grado en y' e y. La ecuación tendrá una solución para cada uno de los intervalos indicados. Calculamos la primera de ellas con la condición y(0) = 1.

y′+2y=0;dy+2y⋅dx=0;dyy+2dx=0;lny+2x=lnC

Si tomamos antilogaritmos tenemos :

y=C⋅e−2x;1=C⇒y=e−2x∀0≤x≤1

La ecuación resultante toma para x = 1 el valor e-2 con lo que la siguiente ecuación tenemos que resolverla en la forma :

y' + y = 0 ; con la condición y(1) = e-2

Tenemos según eso :

y′+y=0;dy+y⋅dx=0;dyy+dx=0;lny+x=lnC

y considerando el valor y(1) = e-2

e−2=C⋅e−1;C=e−1⇒y=e−1⋅e−x=e−(x+1)∀x>1

Enunciado 2

Resolver la ecuación diferencial :

y′=x2+xy+y2x2

Ver Solución.

Ejercicios de ecuaciones diferenciales - Respuesta 2

La ecuación es homogénea ya que se puede poner en la forma :

y′=1+yx+(yx)2=f(y/x)

Por lo tanto, podemos hacer el cambio v = y/x para poner :

y′=1+v+v2⇒v+x⋅v′=1+v+v2;v′=1+v2x

y separando variables:

∫dv1+v2=∫dxx+C⇒arctanv=lnx+C

o deshaciendo el cambio de variables :

arctan(yx)−lnx=C

Razón de cambio

La medición de razones y proporciones tiene gran aplicación en varias áreas de la ingeniería, es necesario saber tal magnitud para dar una aproximación a problemas de la vida real. Es posible realizar calcular diferencias para cualquier arreglo de datos. En probabilidad y estadística se obtiene razón deinterés compuesto, en física el trabajo que se requiere en determinada condición de tiempo y espacio, crecimientos poblacionales, circuitos eléctricos,temperatura etc. Es prudente hacer la observación los eventos anteriores están en función del tiempo "t"

La representación de estos cambios se denota usando el símbolo de incremento por lo tanto la razón de cambio "x" en el tiempo "t" se puede representa por

=

El numero de habitantes se duplica cada 5 anos, encontrar la razón de cambio y represente los resultados gráficamente (ver imagen 1.1) para ilustración

,

La fuerza para mover un objeto es directamente proporcional a su aceleración encontrar la razón de cambio

Las anteriores razones de cambio suponen un incremento o decremento constante, la representación grafica de tales funciones es una función de la forma y=mx+b

Para obtener una mejor aproximación es necesario usar diferenciales, una razón de cambio infinitesimal se puede obtener limitando los incremento a cero "0"

Problemas propuestos

El numero de habitantes se triplica cada ano, encontrar la razón de cambio y una función que prediga la población en un tiempo "t"

La temperatura en una habitación disminuye 3 grados centígrados cada 10 minutos, encuentre la razón de cambio

La masa de un elemento radioactivo decae en el tiempo, encuentre la razón de cambio

Para análisis y comprensión de la grafica siguiente encuentre la razón de cambio

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Para obtener una mejor aproximación es necesario usar diferenciales, una razón de cambio infinitesimal se puede obtener limitando los incremento a cero "0"

Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas o diferenciales (razones de cambio infinitesimales),

Encontramos integrando

Encontramos integrando

Las ecuaciones 1 y 2 son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, la característica de estas funciones es posible despejar la razón de cambio e integrar con facilidad, otro ejemplo de ecuaciones diferenciales son :

Esta es una ecuación diferencial de segundo orden, así llamado por el orden de la derivada. El orden de una ecuación diferencial es el mismo que el de la derivada de mayor orden que en ella aparece

Ejercicio - Encuentra el grado "n" de las siguiente ecuaciones diferenciales

Soluciones de una ecuación diferencial. Constantes de integración

Una solución o integral de una ecuación diferencial es una relación entre las variables, que define a una de ellas como función de la otra, que satisface a la ecuación así.

Es una solución general de la ecuación diferencial

Ejemplo 2

En el problema anterior "a" es una constante arbitraria de la misma manera se puede representar como c1 y c2 respectivamente dan una solución mas general al problema a esta constante arbitraria se la conoce como constante de integración

Ejemplo 3

Del problema anterior hallar una solución cuando y=2 dy/dx=-1 x=0

La solución general de la función es para y=2 e dy/dx=-1 cuando x=0 aplicando relación entre variables

Sustituyendo los valores encontrados de c1 y c2 en la solución general encontramos nuestro resultado

Una ecuación diferencial se considera resuelta cuando se ha reducido a una expresión en términos de integrales, pueda o no efectuarse la integración

Verificación de las soluciones de ecuaciones diferenciales

Antes de emprender el problema de resolver ecuaciones diferenciales, Mostraremos como se verifica una solución dada. En los tratados sobre ecuaciones diferenciales se demuestra que la solución general de una ecuación diferencial de orden "n", tiene "n" constantes arbitrarias

Demostrar que

Es una solución de la ecuación diferencial

Sustituyendo los valores en la ecuación diferencial original encontramos que la relación de variables satisface la ecuación

Demostrar que

Es una solución particular de la ecuación diferencial

Sustituyendo el valor y’ en la ecuación diferencial y reduciendo obtenemos

Problemas propuestos

Verifica las soluciones de las siguientes ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales de primer orden

Una ecuación de primer orden puede reducirse a al forma

Siendo

...