Estadistica. Intervalos

Un intervalo (del latín inter-vallum, espacio, pausa)1 es un espacio métrico comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real \R, es decir, una parte de recta entre dos valores dados. Es un conjunto medible y tiene la misma cardinalidad de la recta real.2

Índice [ocultar]

1 Caracterización

2 Notación

2.1 Intervalo abierto

2.2 Intervalo cerrado

2.3 Intervalo infinito

2.4 Familia de intervalos

2.5 Operaciones con intervalos

2.6 Entorno simétrico

2.7 Entorno reducido

3 Nota

4 Ejemplos gráficos

5 Clasificación

6 Propiedades

7 Aritmética de intervalos

8 Generalización

9 Véase también

10 Referencias

Caracterización[editar]

Un intervalo real I es una parte de \R que verifica la siguiente propiedad:

Si x e y pertenecen a I con x \le y, entonces para todo z tal que x \le z \le y, se tiene que z pertenece a I

Notación[editar]

Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11.

Intervalo abierto[editar]

Intervalo real 01.svg

No incluye los extremos.

(a,b)\ o bien ]a,b[\

Notación conjuntista o en términos de desigualdades:

I = (a,b), \quad

\forall x \in I: \quad a < x < b

En la definición de límite ordinario de una función real se considera como dominio un intervalo abierto que contiene al punto de acumulación.

En la topología usual de la recta (o ℝ) se usa un intervalo abierto para definir un conjunto abierto en dicha topología. En la topología usual de ℝ, un intervalo abierto es un conjunto abierto. El intervalo abierto <a, b> es igual a su interior, su frontera es el conjunto {a, b} y su clausura es el intervalo cerrado [a, b].3 No tiene puntos aislados, mientras que todos su puntos son puntos de acumulación del mismo intervalo, de suma importancia en asuntos de límites de funciones.4

Intervalo cerrado[editar]

Intervalo real 04.svg

Sí incluye los extremos.

Que se indica: I = [a,b]\

En notación conjuntista:

I = [a,b], \quad

\forall x \in I: \quad a \le x \le b

Si incluye únicamente uno de los extremos.

Intervalo real 03.svg

Con la notación (a,b]\ o bien ]a,b]\ indicamos.

En notación conjuntista:

I = (a,b], \quad

\forall x \in I: \quad a < x \le b

Intervalo real 02.svg

Y con la notación [a,b)\ o bien [a,b[\ ,

En notación conjuntista:

I = [a,b), \quad

\forall x \in I: \quad a \le x < b

Los cuatro tipos de intervalos anteriores se llaman finitos; los expertos asignan como su longitud |b- a|. Son muy útiles en el análisis matemático y en los temas de topología general, para el estudios de diferentes conceptos como clausura, interior, frontera, conexidad, etc.5 Se usan en definición de funciones como la función máximo entero, o la función techo o función piso en matemáticas discretas y para la solución de ecuaciones que conllevan valor abosoluto, la función signo, etc.6

Los intervalos finitos tienen un centro de simetría que es (a + b)/2, llamado punto medio, donde los extremos son a y b con a < b. En el caso a=b, no existe punto medio y el intervalo abierto es ∅.7

Intervalo infinito[editar]

Incluye un extremo e infinito por la derecha.

Intervalo real 06.svg

Con la notación [a,\infty)\ indicamos.

En notación conjuntista:

I = [a,\infty), \quad

\forall x \in I: \quad a \le x

Sin incluir el extremo:

Intervalo real 05.svg

Y con la notación (a,\infty) ,

I = (a,\infty), \quad

\forall x \in I: \quad a < x

Incluye un extremo e infinito por la izquierda.

Intervalo real 08.svg

Con la notación (-\infty, a]\ indicamos.

En notación conjuntista:

I = (-\infty, a], \quad

\forall x \in I: \quad x \le a

Sin incluir el extremo:

Intervalo real 07.svg

Y con la notación (-\infty,a) ,

En notación conjuntista:

I = (-\infty,a), \quad

\forall x \in I: \quad x < a

Para todo valor real:

Intervalo real 09.svg

Y con la notación (-\infty,\infty) ,

En notación conjuntista:

I = (-\infty,\infty), \quad

\forall x \in R

Familia de intervalos[editar]

Operaciones con intervalos[editar]

En notación conjuntista: supongamos el conjunto A:

A =

\{ x, \; x \in R : \quad x < 4 \}

Esto se lee: A son todos los x reales tales que x es menor que cuatro.

Y el conjunto B:

B =

\{ x , \; x \in R : \quad 9 < x \}

El conjunto B abarca todos los x, reales, mayores que nueve.

Intervalo real 20.svg

El conjunto unión de A y B sería:

A \cup B =

\{ x , \; x \in R : \quad x < 4 \; \lor \; 9 < x \}

O también se puede anotar:

x \in

(-\infty, 4) \cup (9, \infty)

La unión de dos o más conjuntos es tomar todos los puntos pertenecientes a cada conjunto.

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