Estocastico

Todos los fenómenos que ocurren en la naturaleza son determinísticos o aleatorios (no determinísticos), es por ello que resulta necesario estudiar este tipo de fenómenos.

• Fenómenos Determinísticos: son aquellos fenómenos cuyos resultados podemos predecir de antemano, por ejemplo; si suelto el lapicero que tengo en la mano, se puede predecir con toda certeza que caerá hacia abajo debido a la ley de gravedad.

• Fenómenos Aleatorios: son todos aquellos fenómenos cuyos resultados no podemos predecir con certeza, por ejemplo; no sabemos con certeza cuál será el número ganador de la lotería de Navidad, ni que número va a aparecer cuando lance un dado.

En PROCESOS ESTOCÁSTICOS se estudian todos aquellos fenómenos aleatorios (no determinísticos o estocásticos). A continuación se definen algunos conceptos básicos:

I. CONCEPTOS BÁSICOS

1.- EXPERIMENTO: es cualquier situación en la que existe un conjunto de resultados posibles. Por ejemplo; una competencia o un juego, una carrera de caballos, una votación.

1.1.- Experimento Aleatorio

Definición 1: conjunto de pruebas realizadas bajo las mismas condiciones y cuyos resultados son impredecibles.

Definición 2: se llama experimento aleatorio a la expresión y observación de fenómenos no determinísticos o aleatorios. Por ejemplo: lanzar un dado para observar cuál de los seis números aparece, sacar un fósforo de una caja que contiene 25 para verificar si se prende o no.

Los rasgos que distinguen a los experimentos aleatorios son:

• Todos los resultados del experimento son conocidos con anterioridad a su realización.

• No se puede predecir el resultado del experimento.

• El experimento puede repetirse en condiciones idénticas.

2.- ESPACIO MUESTRAL: es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se denota con la letra griega Ω. Este espacio muestral puede ser un conjunto finito, infinito numerable, infinito no numerable. También se puede clasificar en:

• Discreto: es aquel cuyo resultado puede ponerse en una correspondencia uno a uno con el conjunto de los números naturales N, por ejemplo; registrar el sexo de un recién nacido, lanzar una moneda hasta que aparezca cara.

• Continuo: aquel cuyos resultados consisten de un intervalo de los números reales, por ejemplo, registrar cuánto tiempo dura funcionando un bombillo, tiempo que tarda un atleta en recorrer 100 metros planos.

3.- PUNTO MUESTRAL: es cada posible resultado de un experimento conceptual (el adjetivo “conceptual” excluye situaciones tales como “la probabilidad de que mi novia me quiera”).

Ejemplos:

• Arrojar una moneda una vez. Hay dos puntos muestrales: {(cara, sello)}.

• Arrojar una moneda dos veces. Se tienen cuatro puntos muestrales: {(cara, cara),(cara, sello), (sello, cara), (sello, sello)}.

• En la clase de procesos estocásticos hay 20 alumnos. Se hace un examen y se va a observar cuántos alumnos aprueban. ¿Cuál sería el espacio muestral? El espacio muestral contiene un número finito de puntos muestrales, Ω = {0,1,2,3,…….,20}.

• Se lanza una moneda hasta que salga cara. El espacio muestral es discreto y contiene un número infinito de puntos muestrales.

• Se lanza una flecha contra un blanco y se va a medir la distancia desde el punto de impacto hasta el centro del blanco. En este caso el espacio muestral es continuo y está dado por el intervalo Ω = {x Ι x≥0}.

4.- SUCESO O EVENTO: se llama suceso a cualquier subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo; al lanzar un dado, el espacio muestral es el conjunto Ω = {1,2,3,4,5,6} y el suceso “se obtuvo un número par” será el subconjunto {2,4,6}.

5.- PROBABILIDAD: la probabilidad es una medida de la posibilidad de que un evento ocurra en el futuro. Este concepto es importante cuando se trabaja con sucesos físicos, biológicos o sociales que generan observaciones que no pueden predecirse con certeza, por ejemplo, la presión arterial de una persona en un momento determinado no puede predecirse con exactitud.

• Puede asumir valores entre cero y uno inclusive.

• Un valor cercano a cero significa que es poco probable que el evento suceda. Un valor cercano a uno significa que es altamente probable que el evento suceda.

• Hay tres definiciones de probabilidad: clásica o “a priori”, empírica o “a posteriori” y subjetiva.

5.1.- Probabilidad Clásica o “a priori”

La definición clásica aplica cuando hay n resultados igualmente probables y mutuamente excluyentes.

Ejemplos:

• Si un dado es lanzado, cuál es la probabilidad de que salga el 2? Cada uno de los lados del dado tiene igualdad de aparecer, son eventos equiprobables, por lo tanto la probabilidad de que salga el 2 es 1/6.

• Una moneda es lanzada al aire. Hay dos posibles resultados cara o sello. Estos dos resultados no pueden ocurrir al mismo tiempo (mutuamente excluyentes), y tienen la misma probabilidad, decimos entonces que la probabilidad de tener cara es ½.

5.2.- Probabilidad empírica, relativa, frecuencial o “a posteriori”

En muchas ocasiones no es posible aplicar la definición clásica porque los n resultados no son igualmente probables, o bien porque el número de resultados es infinito, en este caso, se aplica la definición empírica.

Este tipo de probabilidad se aplica cuando el número de veces que ocurre un evento se divide por el número total de observaciones.

Ejemplos:

• ¿Cuál es la probabilidad de que un bombillo dure funcionando más de 100 horas?

En este caso no es posible aplicar la definición clásica porque la duración de la bombilla es una variable continua y entonces el número posible de resultados es infinito.

• Si un dado está cargado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 3 al lanzar dicho dado?

Tampoco es posible aplicar la definición clásica porque se ha perdido la simetría, los resultados posibles siguen siendo 6, pero esos resultados no tienen la misma probabilidad.

Una forma de obtener la probabilidad, sería realizando un experimento como el siguiente: se lanza el dado cargado 150 veces y se obtienen los siguientes resultados:

1 2 3 4 5 6

23 23 45 10 25 24

La probabilidad de sacar 3 con ese dado es: P(3) ≈ 45/150 ≈ 0.3

Nota: se escribe P(3)≈0.3 y no P(3)= 0.3, pues si se repite el experimento, es decir, si lanzamos de nuevo el dado 150 veces, es muy posible que el 3 no salga 45 veces como antes, sino tal vez 42, 37, 44, etc.

• En el departamento académico

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