Proceso estocástico

¿Qué es un proceso estocástico?

En la teoría de la probabilidad, un proceso aleatorio o estocástico es una sucesión de variables aleatorias o variables estocásticas que se desarrollan en función de otra variable, generalmente del tiempo. Cada variable o conjunto de variables sometidas a influencias o impactos aleatorios constituye un proceso estocástico. Es decir, pensar que una variable aleatoria X que marca un evento s∈ S, donde S es el espacio muestral a algún numero X(s), pensamos en como la variable mara un evento de distintos números en distintos tiempos. Lo que implica que en vez de un número X(s) se tratará de un X(t,s), donde t ∈ T, donde T es el parámetro del proceso y es usualmente un conjunto de tiempos.

Este tipo de procesos son encontrados bastantes en campos como las Comunicaciones, Control, Ciencias para Administración y Análisis en Series Temporales. Algunos ejemplos de ellos incluyen el crecimiento de la población, la falla de una pieza de un equipo, el precio de una acción dada sobre el tiempo y el número de llamadas que pueden llegar a un tablero.

Si se fijan el punto de muestra s, X(t) es una variable real del tiempo. Para cada s, se tiene una función de X(t). Es más, X(t,s) puede ser vista como una colección de funciones del tiempo para cada punto de muestra s. Por otra parte, si se fija t, se tiene una función X(s) que depende solamente de s y esta es una variable aleatoria. Y esto lleva a un proceso aleatorio a ser una variable aleatoria cuando el tiempo se toma en cualquier valor particular. Y así se puede definir un proceso estocástico como una familia de variables {X(t, s)| t ∈ T, s ∈ S} definidas sobre un espacio probabilístico y fijada por el tiempo.

Un proceso estocástico o aleatorio de una muestra

Considérese un ejemplo de un sistema de comunicación. Se asume que hay un conjunto de posibles mensajes que son transmitidos por una canal. Este conjunto de mensajes constituye el espacio muestral. Para cada mensaje M generado, se transmite una onda de forma X(t,s) por el canal. Como este canal no es perfecto, él añade una onda de ruido N(t,s) a la onda original para que el receptor obtenga una señal de forma R(t,s) que es la suma de la onda original más la onda de ruido. Es decir,

R(t,s) = X(t,s) + N(t,s)

Como el ruido de seleccionado de forma probabilística por el canal, distintas ondas de ruido pueden ser asociadas, no solo a la onda transmitida sino que a todas las demás ondas que van por el canal. Entonces, la gráfica de R(t,s) será distinta para cada valor de s.

Un caso especial de este tipo de procesos es el proceso llamado estacionario que es un proceso, en sentido estricto, si la función de distribución conjunta de cualquier subconjunto de variables es constante respecto a un desplazamiento en el tiempo.

Definición de un Proceso Estacionario

Existen dos tipos de procesos estacionarios: los procesos estrictamente estacionarios o de estacionaridad fuerte y los procesos estacionarios de sentido amplio o de estacionaridad débil.

Procesos estacionarios de sentido estricto

Un proceso estacionario estricto es uno cuya distribución de probabilidad en un instante de tiempo fijo o una posición fija es la misma para todos los instantes de tiempo o posiciones. Esto significa que los procesos X(t) con una función de distribución acumulada FX(x1, x2, … ,xn; t1, t2, .., tn) es idéntico cuando X(t+ ε) para cualquier ε arbitraria. Es decir, que esto implica

FX(x1, x2, … ,xn; t1, t2, .., tn) = FX(x1, x2, … ,xn; t1+ ε, t2+ ε, .., tn+ ε) para toda n.

En consecuencia, parámetros tales como la media y la varianza, si existen, no varían a lo largo del tiempo o la posición. Nótese que un “proceso estacionario” no es lo mismo que “Un proceso con una distribución estacionaria”.

La estacionaridad estricta es una condición muy fuerte, ya que para contrastarla es necesaria disponer distribuciones conjuntas para cualquier selección de variables del proceso.

Por ejemplo, el ruido blanco es estacionario. Sin embargo, el sonido de un golpe de platillos no es estacionario, pues la energía acústica del golpe disminuye con el tiempo.

Procesos estacionarios de sentido amplio

Muchos problemas surgen cuando se tratan sólo con la media y la auto covarianza de un procesos estocástico. Las soluciones a estos problemas se simplifican si estas cantidades no dependen del tiempo en absoluto. Los procesos de estacionaridad débil poseen las siguientes condiciones:

1.- E(FX) = μt , para todo t. Es decir, la media del proceso FX es constante o que no varía.

2.- V(FX) = σ2 < ∞ , para todo t. Lo que indica que la variabilidad o varianza del proceso es contante y finita.

Nótese que un proceso estacionario estricto es también

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