Ejercicios Procesos estocasticos

Modelos Estocásticos.

     Los modelos estáticos se ocupan de determinar una respuesta para una serie especial de condiciones fijas que probablemente no cambiarán de significativamente a corto plazo, un buen ejemplo de este es la programación lineal. Un modelo estático dará por resultado la mejor solución basada en esa condición estática sin embargo la capacidad de producción y los requerimientos de tiempo de los productos pueden cambiar finalmente y lo hacen así debido a las condiciones internas y externas. Un modelo dinámico está sujeto al factor de tiempo, que desempeña un papel esencial en la secuencia de las decisiones, el modelo dinámico nos permite encontrar las decisiones óptimas para los períodos que quedan todavía en el futuro. (Almeida, 2010, pág. 55)

Programación Estocásticos.

     Se entiende por estocástico o programación probabilística ala que ocupa de las situaciones en las que algunos parámetros del problema de optimización se describen por distribuciones. Las fuentes de las variables aleatorias pueden ser varias, dependiendo de la naturaleza y tipo de problema. (RAO, 1996, pág. 50)

     Muchos problemas de programación matemática incorporan parámetros que se suponen conocidos en el momento de resolver el problema y, por tanto, constantes a la hora de resolverlo. Sin embargo, si el problema de optimización es el resultado de la representación mediante un modelo de una situación real en la que hemos de tomar una decisión, es frecuente que se desconozcan los valores de algunos de los parámetros que intervienen en él. Este desconocimiento da lugar a que en el momento de adoptar una decisión se desconozcan las posibles consecuencias de la misma.

     En base a la información disponible acerca de los posibles resultados de una acción en cualquier proceso de toma de decisiones, podemos decir que cuando tomamos una decisión estamos ante una situación de:

• Certidumbre: Si cada acción da lugar a un resultado conocido e invariable.
•  Riesgo: Si cada acción lleva a un posible resultado y cada resultado lleva asociada una probabilidad dc que ocurra, conocida para el decisor. La situación de certidumbre es un caso degenerado de una situación de riesgo con probabilidades cero y uno.
•  Incertidumbre: Si cada acción tiene una consecuencia de entre un conjunto de posibles resultados, pero se desconocen las probabilidades de éstos.

 Para resolver problemas en los que se desconocen los valores de algunos de los parámetros que intervienen en el mismo (situaciones de riesgo o de incertidumbre), es posible adoptar distintas “soluciones”. En determinadas circunstancias, y en base a la información disponible acerca de ellos, es posible “sustituir” estos valores por una estimación que se ajuste bien a datos históricos de los mismos, una medición no exacta de su valor esperado Otra posibilidad es tratar estos parámetros como variables aleatorias.
    La programación estocástica analiza la resolución de problemas de programación matemática en los que algunos parámetros son desconocidos, pero se conoce la distribución de probabilidad asociada a ellos y, por tanto, las situaciones que se analizan mediante la misma son situaciones de riesgo.

      (Prékopa, 1995) define la programación estocástica como “la resolución de problemas de programación matemática en los que algunos o todos los parámetros son variables aleatorias”.

     En programación estocástica se relaja, por tanto, la hipótesis de que todos los parámetros del problema son deterministas, permitiendo tratar como variables aleatorias parámetros sujetos a incertidumbre o a posibles errores en su medición o estimación y de los que se conoce su distribución de probabilidad.
    Los problemas de programación estocástica pueden dividirse en modelos estáticos y dinámicos. Nos centraremos en el estudio de los modelos estáticos.
    La formulación general de un problema estático de programación estocástica es

[pic 1]

donde  es un vector aleatorio definido sobre un conjunto . Suponemos dada la familia  de eventos, es decir, subconjuntos de , y la distribución de probabilidad P definida sobre , de manera que para cualquier subconjunto de ,  , A  , la probabilidad de A, P(A), es conocida. Además, se mantiene la hipótesis de que la distribución de probabilidad, P, es independiente de las variables de decisión,      Si analizamos el problema de programación estocástica, el hecho de que algunos parámetros del problema sean aleatorios da lugar a que la función objetivo y las funciones = 1,2,...,q, sean variables aleatorias, que implica que el problema no esté bien definido matemáticamente. Nótese que, si bien la elección de un vector x es determinista, puesto que las decisiones que adopta el decisor no están sujetas a incertidumbre, el hecho de que los parámetros del problema sean variables aleatorias puede dar lugar a que la decisión adoptada sea no factible una vez que se resuelve la incertidumbre o que, aun siendo factible, no sea óptima.
    Así, para cada realizaciónde  el problema de programación estocástica es un problema determinista de programación matemática, pero, si se ha de elegir un vector x antes de que se realicen las variables aleatorias, el término “opt” no tiene sentido, puesto que el conjunto de soluciones factibles del problema será distinto para cada realización de
    En cuanto a la función objetivo, al estar afectada por parámetros aleatorios, es ella misma una variable aleatoria, y, puesto que un conjunto de valores aleatorios no admite una relación de orden, podemos tener una realización de  ,para la que:[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

[pic 20]

y otra realización,  para la cual:[pic 21]

[pic 22]

     Por tanto, en un problema de programación estocástica no existe un vector x que sea óptimo para todas las realizaciones de la variable aleatoria.
    De todo ello se desprende que hemos de especificar el concepto de solución de un problema de programación estocástica

Ejemplo 

Colas 

Programación Estocásticos.

     Un proceso estocástico es una colección de variables aleatorias  parametrizada por un conjunto T, llamado espacio parametral, en donde las variables toman valores en un conjunto S llamado espacio de estados.[pic 23]

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