PROCESOS ESTOCÁSTICOS

TEMA 5. PROCESOS ESTOCÁSTICOS

En el estudio de las variables aleatorias realizado hasta ahora se han explorado las características

aleatorias del fenómeno pero se ha mantenido una premisa por defecto, que esas

características aleatorias permanecen constantes a través del tiempo. Al incluir en el estudio

la presencia de la variable determinística tiempo se está considerando que, de alguna

forma, la variable aleatoria depende del tiempo. En otras palabras, la variable aleatoria

dependerá del fenómeno probabilístico y del tiempo. En consecuencia, cualquier función que

se establezca en términos de la variable aleatoria, como lo son la función de distribución o

la función de densidad, serán también dependientes del tiempo.

Uno de los objetivos de este capítulo es construir un modelo que nos permita explicar la

estructura y preveer la evolución, al menos a corto plazo, de una variable que observamos

a lo largo del tiempo. La variable observada puede ser económica (I.P.C., demanda de un

producto, existencias en un determinado almacén, etc...), física (temperatura de un proceso,

velocidad del viento en una central eólica, concentración en la atmósfera de un contaminante,

etc..) o social (número de nacimientos, votos de un determinado partido, etc..). Supondremos

a lo largo del tema que los datos se obtienen en intervalos regulares de tiempo (horas, días,

años,..) y el objetivo es utilizar la posible ”inercia” en el comportamiento de la serie con el

fin preveer su evolución futura. Así, una serie temporal será una sucesión de valores de una

variable obtenidos de manera secuencial durante el tiempo.

5.1. Concepto de proceso estocástico.

Definición Un proceso estocástico es una colección o familia de variables aleatorias {Xt,

con t ∈ T}, ordenadas según el subíndice t que en general se suele identificar con el

tiempo.

Por tanto, para cada instante t tendremos una variable aleatoria distinta representada

por Xt, con lo que un proceso estocástico puede interpretarse como una sucesión de variables

aleatorias cuyas características pueden variar a lo largo del tiempo. Por ejemplo, si

observamos sólo unos pocos valores de t, tendríamos una imagen similar a la de la figura

siguiente:

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en la que se representa para cada t la función de densidad correspondiente a Xt. Aunque

en la figura se han representado unas funciones de densidad variables, un proceso estocástico

no tiene por que presentar esas diferencias en la función de densidad a lo largo del

tiempo. Como más adelante se comentará presentan un especial interés aquellos procesos

cuyo comportamiento se mantiene constante a lo largo de t.

A los posibles valores que puede tomar la variable aleatoria se le denominaran estados,

por lo que se puede tener un espacio de estados discreto y un espacio de estados continuo.

Por otro lado, la variable tiempo puede ser de tipo discreto o de tipo continuo. En el caso del

tiempo discreto se podría tomar como ejemplo que los cambios de estado ocurran cada día,

cada mes, cada año, etc.. En el caso del tiempo continuo, los cambios de estado se podrían

realizar en cualquier instante.

Por tanto, dependiendo de cómo sea el conjunto de subíndices T y el tipo de variable

aleatoria dado por Xt se puede establecer la siguiente clasificación de los procesos estocásticos:

• Si el conjunto T es continuo, por ejemplo R+, diremos que Xt es un proceso estocástico

de parámetro continuo.

• Si por el contrario T es discreto, por ejemplo N, diremos que nos encontramos frente a

un proceso estocástico de parámetro discreto.

• Si para cada instante t la variable aleatoria Xt es de tipo continuo, diremos que el

proceso estocástico es de estado continuo.

• Si para cada instante t la variable aleatoria Xt es de tipo discreto, diremos que el

proceso estocástico es de estado discreto.

t Discreto t Continuo

X Discreta

Proceso de estado discreto

y tiempo discreto (Cadena)

(Unidades producidas mensualmente

de un producto)

Proceso de estado discreto

y tiempo continuo (Proc. Saltos Puros)

(Unidades producidas hasta el instante t)

X Continua

Proceso de estado continuo

y tiempo discreto

(Toneladas de producción diaria de

un producto)

Proceso de estado continuo

y tiempo continuo (Proceso Continuo)

(Velocidad de un vehículo en

el instante t)

Una Cadena es un proceso estocástico en el cual el tiempo se mueve en forma discreta

y la variable aleatoria sólo toma valores discretos en el espacio de estados. Un Proceso de

Saltos Puros es un proceso estocástico en el cual los cambios de estados ocurren en forma

aislada y aleatoria pero la variable aleatoria sólo toma valores discretos en el espacio de

estados. En un Proceso Continuo los cambios de estado se producen en cualquier instante

y hacia cualquier estado dentro de un espacio continuo de estados.

Como un ejemplo de una Cadena, considere una máquina dentro de una fábrica. Los

posibles estados para la máquina son que esté operando o que esté fuera de funcionamiento

y la verificación de esta característica se realizará al principio de cada día de trabajo. Si

hacemos corresponder el estado ’fuera de funcionamiento’ con el valor 0 y el estado ’en

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operación’ con el valor 1, la siguiente figura muestra una posible secuencia de cambios de

estado a través del tiempo para esa máquina.

Para el caso de los Procesos de Saltos Puros se puede considerar como un ejemplo una

señal telegráfica. Sólo hay dos posibles estados (por ejemplo 1 y -1) pero la oportunidad

del cambio de estado se da en cualquier instante en el tiempo, es decir, el instante del cambio

de estado es aleatorio. La siguiente figura muestra una señal telegráfica.

Como un ejemplo de un Proceso Continuo, se puede mencionar la señal de voz vista

en la pantalla de un osciloscopio. Esta señal acústica es transformada en una señal eléctrica

analógica que puede tomar cualquier valor en un intervalo continuo de estados. La figura

siguiente muestra una señal de voz la cual está modulada en amplitud.

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5.2. Procesos de Estado Discreto.

En el caso de procesos estocásticos con espacio de estados discreto, una secuencia de

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